Bài I: (4 điểm)

Cho hàm số $y=x^{3}-\frac{3}{2} m x^{2}+m^{3}$ có đồ thị $\left(C_{m}\right) .$ Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $A, B$ sao cho tam giác $ABO$ có diện tích bằng 32 (với $O$ là gốc tọa độ).

Bài II (6 điểm)

1) Giải phương trình: $x^{3}+1=\sqrt{4 x-3}+\sqrt{2 x-1}$

2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}y^{3}+y=x^{2}+2 \\ 8 y^{3}-3 y=2 x^{2}-\sqrt[3]{2 x^{2}+y+7}+7\end{array}\right.$

Bài III ( 2 điểm)

Cho đa giác đều 30 đỉnh $A_{1} A_{2} \ldots A_{10}$. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm trong 30 điểm $A, A_{2}, \ldots, A_{30}$ đồng thời không có cạnh nào là cạnh của đa giác.

Bài IV (3 điểm)

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng$1 .$ Gọi $M, N$ là hai điểm thay đổi lần lượt trên các cạnh $AB, A'D'$ sao cho đường thẳng $MN$ tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc bằng $60^{\circ}$

1) Tính độ dài đoạn thẳng $MN$.

2) Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $CC'$.

Bài V ( 3 điểm )

Cho dãy số $\left(u_{n}\right)$ xác định bởi $u_{1}=6, u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_{n}^{2}-4 u_{n}+9\right) ; n=1,2, \ldots$

1) Chứng minh dãy số $\left(u_{\mathrm{s}}\right)$ là dãy só tăng.

2) Chứng minh $\frac{1}{u_{1}-1}+\frac{1}{u_{2}-1}+\cdots+\frac{1}{u_{2020}-1}<\frac{1}{3}$

Bài VI (2 điểm)

Với $a, b, c$ là các số thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=a b+b c+c a+6 .$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=(a-b)(b-c)(c-a)$.

---Hết---