Đề thi học sinh giỏi môn Toán trường THPT Chu Văn An Hà Nội năm học 2020 2021

Xem chi tiết dưới đây

Bài 1. $(4,0$ điểm$)$
Tim tất cả các giá trị thực của tham số $m$ đề hàm số $y=\frac{2 \cos x+3}{2 \cos x-m}$ nghịch biến trên khoảng $\left(0 ; \frac{\pi}{3}\right)$

Bài 2. $(5,0$ điểm$)$
1) Giải phương trình $\frac{\sqrt{2 x+3}-2}{\sqrt[3]{4 x+5}-3}=\frac{1}{2(x+2)}$
2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}(x-y)\left(x^{2}+x y+y^{2}+3\right)=3\left(x^{2}+y^{2}\right)+2 \\ (y-1) \sqrt{x+1}-x \sqrt{2-y}=2 x^{2}-6 y-15\end{array}\right.$

Bài 3. $(3,0$  điểm$)$
Cho dãy số $\left(u_{n}\right)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}u_{1}=3 \\ 2 u_{n+1}=u_{n}^{2}+1\end{array}\left(n \in \mathbb{N}^{*}\right)\right.$
1) Xét tính tăng, giảm của dãy số $\left(u_{n}\right)$.
2) Đặt $b_{n}=\frac{1}{u_{1}+1}+\ldots+\frac{1}{u_{n}+1} \cdot$ Tính $\lim b_{n}$

Bài
4. $(6,0$ điểm$)$
Trong mặt phằng $Oxy,$ cho tam giác $ABC$ có $M(2 ; 1)$ là trung điểm cạnh $AC$,, điềm $E(23 ;-2)$ thuộc đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ C. Tìm tọa độ điểm $B$ biết rằng điểm $A$ thuộc đường thẳng $d: 2 x+3 y-5=0$ và điểm $C$ có hoành độ dương.
2) Cho hình chóp $S.ABC D$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$,cạnh $AB=2a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ} .$  SO vuông góc với mặt phằng $(ABCD)$ và $SO=a \sqrt{3}$. Tinh theo $a$ khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(SBC)$.
3) Cho tứ diện $OABC$ có $O A, O B, O C$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $\alpha$ là số đo của góc $\widehat{B A C}$ và $\beta$ là số đo của góc giữa đường thằng $O A$ và mặt phẳng $(A B C) .$ Goi $R$ và $S$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và diện tích tam giác $A B C .$ Chứng minh rằng: $\frac{\cos ^{2} \alpha}{\sin 2 \beta}=\frac{R^{2}}{S}$
Bài 5. $(2,0$ diêm$)$ Xét $a, b, c$ là các số thực dương, thoả mãn các điều kiện $a b c=1$ và $a^{2}+b^{2}+\frac{1}{a^{2} b^{2}}=1+\frac{2}{a b} .$ Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{1+3 c}-\frac{1}{a^{2}+1}-\frac{1}{1+b^{2}}$.