ĐỀ ÔN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 2020-2021 – SỐ 04

WWW.DAYHOCTOAN.VN– GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN

Thời gian: 180 phút – Không kể thời gian giao đề (Ngày 16/09/2020)

Bài 1. (4,0 điểm)

1. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ hàm số: $y=\frac{x+1}{x-2}$ tại điểm M có hoành độ âm, biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ thành tam giác có diện tích $S=\frac{1}{6}$.

2. Cho hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Trên đồ thị $\left( C \right)$ lấy điểm phân biệt là A và B có hoành độ lần lượt là a, b. Tìm điều kiện của a, b để tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại các điểm A và B song song với nhau.

Bài 2. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình: $\tan x-3\cot x=4\left( \sin x+\sqrt{3}.\cos x \right).$

2. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1=2(xy-x+y)  \\ {{x}^{3}}+3{{y}^{2}}+5x-12=(12-y)\sqrt{3-x}  \\ \end{array} \right.\left( x,y\in \mathbb{R} \right).$                            

Bài 3. (4,0 điểm) Cho hình lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a,\widehat{BAD}={{120}^{0}}.$ Biết các đường thẳng $A'A,A'B,A'C$ cùng tạo với $\left( ABCD \right)$ một góc bằng ${{60}^{0}}.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BB',CC'.$

1. Tính thể tích của khối lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'.$

2. Tính khoảng cách giữa $AD$ và mặt phẳng $\left( D'MN \right).$  

Bài 4.(4,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy,$ cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm I, điểm $M\left( 2;-1 \right)$ là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc của B lên AI là $D\left( \frac{9}{5};-\frac{8}{5} \right).$ Biết rằng AC có phương trình $x+y-5=0,$ tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Bài 5. (2,0 điểm) Một chiếc hộp đựng $8$ viên bi màu xanh được đánh số từ $1$ đến $8$, $9$ viên bi màu đỏ được đánh số từ $1$ đến $9$ và $10$ viên bi màu vàng được đánh số từ $1$ đến $10$. Một người chọn ngẫu nhiên $3$ viên bi trong hộp. Tính xác suất để $3$ viên bi được chọn có số đôi một khác nhau.

Bài 6. (2,0 điểm) Cho $x>0$ và y tùy ý. Tìm GTLN, GTNN của

$M=\frac{x{{y}^{2}}}{\left( {{x}^{2}}+3{{y}^{2}} \right)\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+12{{y}^{2}}} \right)}$

---HẾT---

Đề 01: ĐỀ 01 TẠI ĐÂY

Đề 02: ĐỀ 02 TẠI ĐÂY

Đề 03: ĐỀ 03 TẠI ĐÂY