ĐỀ ÔN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 2020-2021 – SỐ 03

WWW.DAYHOCTOAN.VN– GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN

Thời gian: 180 phút – Không kể thời gian giao đề (Ngày 16/09/2020)

Bài 1. (4,0 điểm)

1. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị của hàm số $y={{x}^{4}}-\left( m+1 \right){{x}^{2}}+m$ cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2,$ biết rằng tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm phân biệt A, B sao cho $OB=9OA$.

Bài 2. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình: $1+\cot 2x=\frac{1-\cos 2x}{{{\sin }^{2}}2x}.$

2. Giải phương trình:  ${{x}^{2}}-x+1+\sqrt{2}=\sqrt{x+1}+\sqrt{2-x}.$                             

Bài 3. (4,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a,$ $SA=a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right).$

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.

b) Gọi $M$ là điểm di động trên đoạn $BC$ và $BM=x,K$ là hình chiếu của $S$ trên $DM.$ Tính độ dài đoạn $SK$ theo $a$ và $x.$  Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn SK.

Bài 4.(4,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy,$ cho hình vuông $ABCD$ có đỉnh $A\left( 5;-4 \right).$ Gọi $E$ là trung điểm của cạnh $AD,$ hình chiếu vuông góc của $B$ lên $CE$ là $H\left( -1;-2 \right).$ Tìm tọa độ điểm $C,$ biết trung điểm $F$ của cạnh $BC$ nằm trên đường thẳng $d:x-2y+2=0.$

Bài 5. (2,0 điểm) Cho đa giác đều $\left( \text{H} \right)$ có $18$ đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm $O$. Gọi $X$ là tập hợp các tam giác có các đỉnh là đỉnh của $\left( \text{H} \right)$. Tính xác suất để chọn được một tam giác từ tập $X$ là tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều.

Bài 6. (2,0 điểm) Cho các số thực x, y thỏa mãn ${{\left( x+y \right)}^{3}}+4xy\ge 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của

$A=3\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right)-2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+1$.

---HẾT---

Xem thêm: 

Đề 01: ĐỀ 01 TẠI ĐÂY

Đề 02: ĐỀ 02 TẠI ĐÂY