Chuyên đề khảo sát sự biến và vẽ đồ thị hàm số và bài toán liên quan từ đề thi học sinh giỏi các tỉnh các năm 

Nội dung đề: 

KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI HSG CÁC NĂM

BÀI 1: (HUẾ 2018 – 2019) (4,0 điểm)

Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x-1}$ có đồ thị $\left( C \right).$ Gọi $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị $\left( C \right).$ Tiếp tuyến tại $M$ của đồ thị $\left( C \right)$ cắt hai đường tiệm cận của đồ thị $\left( C \right)$ lần lượt tại hai điểm $A$ và $B.$

a) Chứng minh $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB.$

b) Xác định tọa độ điểm$M$ để chu vi tam giác $IAB$ nhỏ nhất.

BÀI 2: (HUẾ 2017- 2018) (4,0 điểm)

Cho hàm số $y=\frac{2x-m}{mx+1},\,\,\,\left( {{H}_{m}} \right)$

a) Khi $m=1,$ hàm số đã cho có đồ thị $\left( {{H}_{1}} \right)$ cắt hai trục $Ox,Oy$ lần lượt tại hai điểm $A$ và $B.$ Tính diện tích tam giác $OAB.$

b) Chứng minh rằng với mọi $m\ne 0$ thì đồ thị hàm số $\left( {{H}_{m}} \right)$ cắt đường thẳng $\left( d \right):y=2x-2m$ tại hai điểm phân biệt $C,D$thuộc một đường $\left( H \right)$ cố định. Đường thẳng $\left( d \right)$ cắt $Ox,Oy$ lần lượt tại các điểm $M,N.$ Tìm $m$ để ${{S}_{OCD}}=3.{{S}_{OMN}}.$

BÀI 3: (HUẾ 2015-2016) (3,0 điểm)

Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x-1}$ có đồ thị $\left( C \right).$ Gọi $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị $\left( C \right).$ Tiếp tuyến tại $M$ của đồ thị $\left( C \right)$ cắt hai đường tiệm cận của đồ thị $\left( C \right)$ lần lượt tại hai điểm $A$ và $B.$

a) Chứng minh $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB.$

b) Chứng minh rằng diện tích tam giác $IAB$ không đổi.

c) Xác định tọa độ điểm$M$ để chu vi tam giác $IAB$ nhỏ nhất.

BÀI 4: (HUẾ 2014-2015) (4,0 điểm)

Cho hàm số $y=\left( 2-m \right){{x}^{3}}-6m{{x}^{2}}+9\left( 2-m \right)x-2$ có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right),\,m$ là tham số thực.

a) Tìm $m$ để hàm số có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số với điểm $I\left( 0;4 \right)$ thẳng hàng.

b) Tìm $m$ để đường thẳng $d:y=-2$ cắt  đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại ba điểm phân biệt $A\left( 0;-2 \right),B,C$ và diện tích tam giác $OBC$ bằng $2\sqrt{7}$ (với $O$ là gốc tọa độ).

BÀI 5: (HUẾ 2013-2014) (4,0 điểm)

Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( m-1 \right)x+2$ có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right),\,m$ là tham số thực.

a) Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty  \right).$

b) Khi $m=0,$ tìm điểm $N$ trên trục hoành mà từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị $\left( {{C}_{0}} \right)$ (ứng với $m=0$ ) sao cho hoành độ ba tiếp điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ thỏa mãn điều kiện: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=20.$

BÀI 6: (HUẾ 2012-2013) (4,0 điểm)

Với mỗi tham số thực $m,$ gọi $\left( {{C}_{m}} \right)$ là đồ thị của hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+mx-2m-4}{x+2}.$

a) Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( {{C}_{m}} \right)$ biết $A\left( 0;1 \right)$ là tiếp điểm.

b) Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi thì điểm cực tiểu của $\left( {{C}_{m}} \right)$ chạy trên một parabol cố định.

BÀI 7: (BÌNH PHƯỚC 2017 – 2018)

Cho hàm số $y=\frac{2x-2}{x+1}$. Tìm điểm $M$ thuộc $\left( C \right)$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng ${{\Delta }_{1}}:2x-y+4=0$ bằng $\frac{2}{3}$ lần  khoảng cách từ $M$đến đường thẳng  ${{\Delta }_{2}}:x-2y+5=0$.

BÀI 8: (CẦN THƠ 2018 – 2019)

Cho hàm số $y={{x}^{4}}-8m{{x}^{2}}+16{{m}^{2}}-m+1\left( m\in \mathbb{R} \right)$ có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $H\left( 0;1 \right).$ Tìm tất cả giá trị $m$ để đồ thị $\left( C \right)$ có ba cực trị $A,B,C$ sao cho $H$ là trực tâm tam giác $ABC.$

BÀI 9: (ĐỒNG NAI 2017 – 2018)

Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2(m-1){{x}^{2}}+2018\,(C),\,m$ là tham số.

a) Xác định $m$để đồ thị $(C)$có ba điểm cực trị là $A,B,C$và tam giác $ABC$ là tam giác đều.

b) Cho hàm số $y=\frac{2x+3}{x-2}\,(H)$. Tìm tọa độ điểm $M\in (H)$ sao cho khoảng cách từ $M$đến $(d):y=-7x+20$ là nhỏ nhất.

BÀI 10 (HÀ NAM 2016 – 2017)

Cho hàm số $y=\frac{1}{3}m{{x}^{3}}-(m-1){{x}^{2}}+3(m-2)x+1$, với m là tham số thực. Tìm m để hàm số đồng biến trên $\left[ 2;+\infty  \right)$.

BÀI 11 (HÀ NAM 2016 – 2017)

Cho hàm số $y=\frac{1-x}{x+1}$ có đồ thị $\left( H \right)$, $M$là điểm tùy ý trên $\left( H \right)$ có hoành độ nhỏ hơn $-1$, tiếp tuyến của $\left( H \right)$ tại điểm M cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt tại A và B. Xác định tọa độ điểm M để diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất, (O là gốc tọa độ).

BÀI 12 (HẢI DƯƠNG 2017 – 2018)

Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3mx+1$ có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích $\Delta \,IAB$ bằng $8\sqrt{2}$.

BÀI 13 (LÂM ĐỒNG 2018 - 2019)

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x-3{{m}^{2}}-1$ có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa ${{x}_{1}}+4{{x}_{2}}=0.$

BÀI 14 (NAM ĐỊNH 2015 - 2016)

Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những điểm thuộc (C) mà khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng $\Delta :x+y-3=0$ bằng $\sqrt{2}$.

BÀI 15 (NAM ĐỊNH 2015 - 2016)

Cho hàm số $y={{x}^{3}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 5m+1 \right)x-2m-2$ có đồ thị là $({{C}_{m}})$, với m là tham số. Tìm m để $({{C}_{m}})$cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt $A\left( 2;0 \right),\,B,\,C$ sao cho trong hai điểm B, C có một điểm nằm trong và một điểm nằm ngoài đường tròn $\left( T \right):x{}^{2}+{{y}^{2}}=1$.

BÀI 16 (QUẢNG BÌNH 2015 - 2016)

Cho hàm số $y=\frac{x-3}{x+1}$ có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến các đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất.

BÀI 17 (QUẢNG BÌNH 2016 - 2017)

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m\,(m\ne 0)$ để đường thẳng $\Delta :y=3(x-m)$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{3x-2m}{mx+1}(H)$ tại 2 điểm phân biệt $A,\,\,B$ sao cho diện tích $\Delta OAB$ bằng $\frac{\sqrt{21}}{2}$.

BÀI 18 (QUẢNG BÌNH 2017 - 2018)

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right):y=\frac{x}{x-1}$, biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị $\left( C \right)$ đến tiếp tuyến là lớn nhất.

BÀI 19 (THÁI BÌNH 2017 - 2018)

Cho hàm số:$y=\frac{2x-1}{x+1}$ có đồ thị là (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất.

BÀI 20 (THÁI BÌNH 2017 - 2018)

Cho hàm số:$y=2{{x}^{3}}-\left( m+6 \right){{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-3m \right)x+3{{m}^{2}}$ có đồ thị là $\left( {{C}_{m}} \right)$ ($m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}}$ thỏa mãn: ${{\left( {{x}_{1}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{3}}-1 \right)}^{2}}=6$.

Xem chi tiết dưới đây