Chuyên đề phương trình vô tỷ dạng sử dụng lượng liên hợp bài 1

1.1. Công thức thường dùng trong nhân liên hợp:

1.2. Một số hằng đẳng thức hay sử dụng:

• ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}=\left( x-y \right)\left( x+y \right)$

• ${{x}^{3}}-{{y}^{3}}=\left( x-y \right)\left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}} \right)$

• ${{x}^{4}}-{{y}^{4}}=\left( x-y \right)\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)$

Sử dụng những hằng đẳng thức này, ta có thể quy phương trình vô tỉ (hay một phương trình của hệ)  ban đầu về dạng phương trình tích bằng việc làm xuất hiện các nhân tử chung. Từ đó ta có thể dễ dàng giải quyết tiếp bài toán. Thường thì ở các bài toán sử dụng phương pháp này thì ý tưởng tổng quát  như sau: Giả sử nếu ta có phương trình dạng $f\left( x \right)=0$ với $f\left( x \right)$ xác định trên một miền D nào đó và ta nhẩm được một nghiệm $x={{x}_{0}}$ của phương trình thì ta có thể biến đổi phương trình đã cho thành $\left( x-{{x}_{0}} \right)g\left( x \right)=0$.  Đến đây ta chỉ việc giải phương trình g(x) = 0 nữa là xong.

Để giải phương trình, hệ phương trình ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau. Tuy nhiên nhiều trường hợp nếu không sử dụng lượng liên hợp, ta rất khó để đưa ra lời giải của bài toán.

Để thấy rõ điều này, ta xét ví dụ sau:

Ví dụ. Giải phương trình:

$\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+1}=2{{x}^{2}}-x-3\,\,\,\left( 1 \right)$

Phân tích: Với bài này nếu ta dùng phương pháp bình phương hai vế của phương trình thì sẽ đưa về phương trình bậc cao rất khó giải quyết.

Ta lại có: $\left( 3x-2 \right)-\left( x+1 \right)=2x-3$ và $2{{x}^{2}}-x-3=\left( 2x-3 \right)\left( x+1 \right)$. Do đó ta có thể nghĩ ngay đến nhân lượng liên hợp ở vế trái của (1) để xuất hiện nhân tử chung là $2x-3$.

Lời giải:

Điều kiện: $x\ge \frac{2}{3}\,\,\left( * \right)$

$\begin{align}  & \left( 1 \right)\Leftrightarrow \frac{\left( \sqrt{3x-2}-\sqrt{x+1} \right)\left( \sqrt{3x-2}+\sqrt{x+1} \right)}{\sqrt{3x+2}+\sqrt{x+1}}=\left( 2x-3 \right)\left( x+1 \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \frac{2x-3}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+1}}=\left( 2x-3 \right)\left( x+1 \right) \\\end{align}$

    $\Leftrightarrow \left( 2x-3 \right)\left[ \frac{1}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+1}}-\left( x+1 \right) \right]=0$

    $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{3}{2} \\ & \frac{1}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+1}}=x+1\,\,\left( * \right) \\\end{align} \right.$

Phương trình (*) vô nghiệm vì với $x\ge \frac{2}{3}$ thì $VT<1$ và $VP>1$)

So với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là: $x=\frac{3}{2}.$

Nhận xét: Với việc sử dụng lượng liên hợp ta đã giải quyết bài toán trên một cách dễ dàng. Để tìm được nghiệm $x=\frac{3}{2}$ thì học sinh có thể dùng chức năng Solve của máy tính cầm tay.

Ví dụ 1. Giải phương trình: $\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Phân tích.  Sử dụng máy tính (hoặc nhẩm nghiệm trực tiếp), ta tìm được một nghiệm của phương trình là: $x=3$.

Ta lại có: $\left( 2x-3 \right)-x=x-3;\,\,\,2x-6=2\left( x-3 \right).$

Bài giải.

Điều kiện: $x\ge \frac{3}{2}.$

$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \frac{x-3}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}-2\left( x-3 \right)=0\Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left( \frac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=3 \\  & \frac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\,\,\,\left( * \right) \\ \end{align} \right.$

$x\ge \frac{3}{2}\Rightarrow \sqrt{2x-3}+\sqrt{x}\ge \sqrt{\frac{3}{2}}>1\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}<1\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2$ (phương trình vô nghiệm).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=3.$

Ví dụ 2. Giải phương trình: $\sqrt{x+1}+1=4{{x}^{2}}+\sqrt{3x}\,\,\,\left( 2 \right)$

Phân tích. Sử dụng máy tính, ta tìm được một nghiệm là: $x=\frac{1}{2}$

Ta lại có: $3x-\left( x+1 \right)=2x-1$ và $4{{x}^{2}}-1=\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right).$

Bài giải.

Điều kiện: $\left\{ \begin{align}  & x\ge -1 \\  & x\ge 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x\ge 0.$

$\begin{align}& \left( 2 \right)\Leftrightarrow \left( 4{{x}^{2}}-1 \right)+\left( \sqrt{3x}-\sqrt{x+1} \right)=0\Leftrightarrow \left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)+\frac{\left( \sqrt{3x}-\sqrt{x+1} \right)\left( \sqrt{3x}+\sqrt{x+1} \right)}{\sqrt{3x}+\sqrt{x+1}}=0 \\  & \Leftrightarrow \left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)+\frac{2x-1}{\sqrt{3x}+\sqrt{x+1}}=0\Leftrightarrow \left( 2x-1 \right)\left( 2x+1+\frac{1}{\sqrt{3x}+\sqrt{x+1}} \right)=0 \\ \end{align}$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$  (vì $2x+1+\frac{1}{\sqrt{3x}+\sqrt{x+1}}>0,\forall x\ge 0$)

(thỏa điều kiện)

Vậy phương  trình đã cho có một nghiệm là: $x=\frac{1}{2}.$

Ví dụ 3. Giải phương trình: $\sqrt{10x+1}+\sqrt{3x-5}=\sqrt{9x+4}+\sqrt{2x-2}\,\,\,\left( 3 \right)$

Phân tích. Nhận thấy: $\left( 10x+1 \right)-\left( 9x+4 \right)=x-3;\,\,\left( 3x-5 \right)-\left( 2x-2 \right)=x-3.$

Bài giải.

Điều kiện: $x\ge \frac{5}{3}.$

$\begin{align}& \left( 3 \right)\Leftrightarrow \left( \sqrt{10x+1}-\sqrt{9x+4} \right)+\left( \sqrt{3x-5}-\sqrt{2x-2} \right)=0\Leftrightarrow \frac{10x+1-\left( 9x+4 \right)}{\sqrt{10x+1}+\sqrt{9x+4}}+\frac{3x-5-\left( 2x-2 \right)}{\sqrt{3x-5}+\sqrt{2x-2}}=0 \\  & \Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left( \frac{1}{\sqrt{10x+1}+\sqrt{9x+4}}+\frac{1}{\sqrt{3x-5}+\sqrt{2x-2}} \right)=0 \\  & \Leftrightarrow x=3. \\ \end{align}$(Vì  $\frac{1}{\sqrt{10x+1}+\sqrt{9x+4}}+\frac{1}{\sqrt{3x-5}+\sqrt{2x-2}}>0,\forall x\ge \frac{5}{3}$ )

So với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là: $x=3.$

Ví dụ 4.  Giải phương trình: $\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}-\sqrt{{{x}^{2}}-2}=\sqrt{3\left( {{x}^{2}}-x-1 \right)}-\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}$

Phân tích.  Trước hết, kiểm tra ta thấy được rằng phương trình đã cho có một nghiệm \[x=2\] nên ta sẽ cố gắng đưa phương trình trên về phương trình tích xuất hiện nhân tử \[\left( x-2 \right)\]. Ta có nhận xét rằng:

\[\left( 3{{x}^{2}}-5x+1 \right)-\left( 3{{x}^{2}}-3x-3 \right)=-2\left( x-2 \right)\] và \[\left( {{x}^{2}}-2 \right)-\left( {{x}^{2}}-3x+4 \right)=3\left( x-2 \right)\]

Bài giải.

(2) $\Leftrightarrow \sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}-\sqrt{3\left( {{x}^{2}}-x-1 \right)}=\sqrt{{{x}^{2}}-2}-\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}$

$\Leftrightarrow \frac{-2x+4}{\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}+\sqrt{3\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}}=\frac{3x-6}{\sqrt{{{x}^{2}}-2}+\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}}$

$\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left[ \frac{2}{\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}+\sqrt{3\left( {{x}^{2}}-x-1 \right)}}+\frac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}-2}+\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}} \right]=0$

Mặt khác, ta có:

$\[\frac{2}{\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}+\sqrt{3\left( {{x}^{2}}-x-1 \right)}}+\frac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}-2}+\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}}\] > 0$ với mọi x

Vậy phương trình (2) có một nghiệm duy nhất x = 2.

Ví dụ 5. Giải phương trình: $\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3{{x}^{2}}-14x-8=0\,\,\,\left( 1 \right)$

Phân tích:

Nếu ta nhóm $\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}=\frac{3x+1-6+x}{\sqrt{3x+1}+\sqrt{6-x}}=\frac{4x-5}{\sqrt{3x+1}+\sqrt{6-x}}$, còn $3{{x}^{2}}-14x-8$ không có nhân tử $\left( 4x-5 \right)$.

Dùng máy tính cầm tay ta tìm được một nghiệm của phương trình là: $x=5.$ Bây giờ ta thế $x=5$ vào $\sqrt{3x+1}$ và $\sqrt{6-x}$ ta lần lượt được các giá trị là $4$ và 1. Do đó để xuất hiện nhân tử $\left( x-5 \right)$, ta phân tích như sau:  $\left( \sqrt{3x+1}-4 \right)+\left( 1-\sqrt{6-x} \right)+3{{x}^{2}}-14x-5=0\,\,$rồi nhân lượng liên hợp ở hai số hạng đầu.

Bài giải.

Điều kiện: $-\frac{1}{3}\le x\le 6.$

$\begin{align}  & \left( 2 \right)\Leftrightarrow \left( \sqrt{3x+1}-4 \right)+\left( 1-\sqrt{6-x} \right)+3{{x}^{2}}-14x-5=0 \\ & \Leftrightarrow \frac{3\left( x-5 \right)}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{x-5}{1+\sqrt{6-x}}+\left( 3x+1 \right)\left( x-5 \right)=0\,\,\left( * \right) \\\end{align}$

$\Leftrightarrow \left( x-5 \right)\left( \frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{1+\sqrt{6-x}}+3x+1 \right)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=5 \\ & \frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{1+\sqrt{6-x}}+3x+1=0\,\,\left( 2* \right) \\ \end{align} \right.$

Xét (2*): Ta có: $\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{1+\sqrt{6-x}}+3x+1>0,\forall x\in \left[ -\frac{1}{3};6 \right].$

Nên (2*) vô nghiệm.

So với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là: $x=5.$

Bài tập 3: Giải các phương trình sau: 

Ví dụ 6. Giải phương trình: $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=2{{x}^{2}}-5x-1\,\,\left( 1 \right)$

Phân tích. Sử dụng máy tính cầm tay với chức năng SOVE cho biểu thức $f\left( x \right)=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}-\left( 2{{x}^{2}}-5x-1 \right)$  ta được một nghiệm $x=3.$

Một cách tự nhiên, ta nghĩ đến tách ghép phù hợp sao cho khi nhân lượng liên hợp xuất hiện nhân tử $\left( x-3 \right)$ hoặc bội của nó.

Nếu ta nhóm $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=\frac{2\left( x-3 \right)}{\sqrt{x-2}-\sqrt{4-x}}$thì có nhân tử $\left( x-3 \right)$ và $2{{x}^{2}}-5x-1$ không xuất hiện $\left( x-3 \right)$. Hơn nữa, sau khi nhân liên hợp nó xuất hiện $\sqrt{x-2}-\sqrt{4-x}$ dưới mẫu số mà chưa thể khẳng định được âm hay dương trong tập xác định của x, điều đó sẽ khó khăn khi giải phương trình $g\left( x \right)=0$ trong $\left( x-3 \right)g\left( x \right)=0$.

Do đó, ta thêm bớt như sau:

$\left( \sqrt{x-2}-1 \right)+\left( \sqrt{4-x}-1 \right)-\left( 2{{x}^{2}}-5x-3 \right)=0$

$\Leftrightarrow \frac{x-3}{\sqrt{x-2}+1}+\frac{3-x}{\sqrt{4-x}+1}-\left( x-3 \right)\left( 2x+1 \right)=0$

Bài giải.

Điều kiện: $2\le x\le 4.$

$pt\Leftrightarrow \left( \sqrt{x-2}-1 \right)+\left( \sqrt{4-x}-1 \right)-\left( 2{{x}^{2}}-5x-3 \right)=0$

$\Leftrightarrow \frac{x-3}{\sqrt{x+2}+1}+\frac{3-x}{\sqrt{4-x}+1}-\left( x+3 \right)\left( 2x+1 \right)=0$

$\Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left( \frac{1}{\sqrt{x-2}+1}-\frac{1}{\sqrt{4-x}}-2x-1 \right)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=3 \\ & \frac{1}{\sqrt{x-2}+1}=\frac{1}{\sqrt{4-x}+1}+2x+1\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$

Ta có $VT<1$ và $VP>1$ do đó phương trình (2) vô nghiệm.

So với điều kiện, phương trình đã cho có một nghiệm $x=3.$

Ví dụ 7.  Giải phương trình: $\sqrt{{{x}^{2}}+12}+5=3x+\sqrt{{{x}^{2}}+5}$

Ví dụ 8. Giải phương trình: $\left( x+1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}={{x}^{2}}+1\,\,\,\left( 1 \right)$

Ví dụ 9. Giải phương trình:   ${{x}^{2}}+x-1=\left( x+2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}$

Ví dụ 10. Giải phương trình: $5{{x}^{2}}-2x-\sqrt{7x+11}=6\sqrt{x+2}-1\,\,\,\left( 1 \right)$

VIDEO HƯỚNG DẪN 14 BÀI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ DẠNG 01