Đề thi học sinh giỏi Toán tỉnh Quảng trị năm 2019 2020 

Ngày 02 tháng 10 năm 2019, sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Trị tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi văn hóa lớp 12 THPT môn Toán năm học 2019 – 2020.

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Quảng Trị gồm 05 bài toán, thời gian làm bài 180 phút, đề thi gồm có 01 trang.

Xem chi tiết dưới đây

Câu 1: (5,0 điểm)

1: Tìm giá trị lớn nhất của $y=\sqrt{-x^{2}+5 x}$.

2. Cho bất phương trình: $\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{8+7 x-x^{2}} \leq m$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x \in[-1 ; 8]$

Câu 2: (5,0 điểm)

1: Giải bất phương trình: $\frac{x^{2}+x-5}{\sqrt{x-1}-1}=\frac{(x+5 \sqrt{x-1})(x-1)}{x-2}$

2: Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có bốn ghế. Xếp ngẫu nhiên 8 học sinh, gồm 4 nam và 4 nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Tính xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ.

Câu 3: (6,0 điểm)

1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với góc ABC = 60 độ, BC = a. Biết tam giác SAB đều, tam giác SCD vuông tại C và nằm trong mặt phẳng hợp với mặt phẳng đáy một góc 60 độ. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD) theo a.
2: Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có các đường cao AD, BE và CF đồng quy tại H. Gọi G là giao điểm BH và DF, L là giao điểm của BC và EF, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCH, K là trung điểm của BC. Chứng minh H là trực tâm tam giác AKL và LG vuông góc AO.

Câu 4: (2,0 điểm)

Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{l}{x_{1}=3} \\ {x_{n+1}=\frac{5 x_{n}+3 \sqrt{x_{n}^{2}+16}}{4} \quad(\forall n \in \mathbb{N}, n \geq 1)}\end{array}\right.$

Tìm số hạng tổng quát của dãy $(x_n)$ và tính giới hạn của dãy số $\left( \sqrt[n]{{{x}_{n}}} \right)$

Câu 5: (2,0 điểm)

Cho ba số thực $a,b,c>0$ thỏa mãn: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}=5.$ Chứng minh rằng $\frac{17}{4}\le \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\le 1+4\sqrt{2}.$