Câu 1.Có tất cả bao nhiêu số nguyên $m\in \left[ -2017;2017 \right]$ để hàm số $y=\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|$ có 3 điểm cực trị?

A. 4032.                         

B. 4033.                       

C. 4030.                       

D. 4028.

Lời giải

Chọn A

Để hàm số $y=\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|$có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ có hai cực trị nằm phía trên trục $Ox$ hoặc có hai cực trị nằm phía dưới trục $Ox$( Một cực trị có thể nằm trên trục Ox )

Ta có : $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m\Rightarrow {y}'=3{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=2 \\ \end{align} \right.$ 

$y(0)=m,\ y(2)=m-4\Rightarrow {{m}^{2}}-4m\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m\le 0 \\  & m\ge 4 \\ \end{align} \right.$

Vậy có 4032 giá trị nguyên của $m\in \left[ -2017;2017 \right]$.

Câu 2.Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|$ có 5 điểm cực trị?

A. $-4<m<0$.                

B. $-4\le m\le 0$          

C. $0<m<4$                

D. $\left[ \begin{align}  & m\ge 4 \\  & m\le 0 \\ \end{align} \right$.

Lời giải

Chọn C

Để hàm số $y=\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|$có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ có hai cực trị nằm về hai phía  của trục $Ox$.

Ta có : $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m\Rightarrow {y}'=3{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=2 \\ \end{align} \right.$

$y(0)=m,\ y(2)=m-4\Rightarrow {{m}^{2}}-4m<0\Leftrightarrow 0<m<4.$