Đề thi học sinh giỏi môn Toán tỉnh Hòa Bình năm 2017 2018 có đáp án và giải chi tiết

Xem chi tiết dưới đây

Họ tên thí sinh:…..………………………………………………

Số báo danh:…………............ Phòng thi:………………………

Câu 1: (3,0 điểm):

a) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số $f(x)=1+3{{x}^{2}}-2{{x}^{3}}.$

b) Tìm điều kiện của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\frac{2x-\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$ có đường tiệm cận đứng.

Câu 2 (5,0 điểm):

a)Tính tổng các nghiệm $x\in \left[ -\pi ;\pi  \right]$ của phương trình:

$2(c\text{os}x+\sqrt{3}\sin x)\cos x=\cos x-\sqrt{3}sinx+1.$

 b)  Giải phương trình ${{\left( 3+\sqrt{5} \right)}^{x}}+{{\left( 3-\sqrt{5} \right)}^{x}}-{{7.2}^{x}}=0.$

 c)  Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & {{x}^{3}}-{{y}^{3}}+3{{x}^{2}}+6x-3y+4=0 \\  & (x+1)\sqrt{y+1}+(x+6)\sqrt{y+6}={{x}^{2}}-5x+12y \\ \end{align} \right.\ (x,y\in \mathbb{R})$

Câu 3 (4,0 điểm):

 Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a\sqrt{2},$ $BC=a$ và $SA=SB=SC=SD=2a$. Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của điểm$B$ trên $AC$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $K$trên $SA$.

a) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a.$

b) Tính diện tích xung quanh của hình nón được tạo thành khi quay tam giác$ADC$ quanh $AD$

     theo $a.$

c) Tính $cosin$ góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( BKH \right)$.

Câu 4 (4,0 điểm):

     a) Tìm hệ số của ${{x}^{7}}$ trong khai triển nhị thức Newton của ${{\left( {{x}^{2}}-\frac{2}{x} \right)}^{n}},x\ne 0$, biết rằng $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $4C_{n+1}^{3}+2C_{n}^{2}=A_{n}^{3}.$

     b) Cho đa giác lồi có 14 đỉnh. Gọi $X$ là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên trong $X$ một tam giác. Tính xác suất để tam giác được chọn không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho.

Câu 5 (2,0 điểm):

 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho điểm $K\left( -2;-5 \right)$ và đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=10$. Đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ tâm $K$ cắt đường tròn $\left( C \right)$ tại hai điểm $A,B$ sao cho dây cung $AB=2\sqrt{5}$. Viết phương trình đường thẳng $AB$.

Câu 6 (2,0 điểm):

    a) Cho $a$và $b$là hai số thực dương. Chứng minh rằng ${{\left( a+b \right)}^{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\ge 8{{a}^{2}}{{b}^{2}}$.

b) Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x>y>z>0$ và $x+y+z=1$.

    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{{{\left( x-y \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( y-z \right)}^{2}}}+\frac{8}{xz}+\frac{2}{{{y}^{3}}}$.

……………… Hết …………..