Trích Đề học sinh giỏi tỉnh Bình Thuận môn Toán năm 2019 có lời giải chi tiết 

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-3mx+m$  có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành.

Lời giải     

Tập xác định $D=\mathbb{R}$. 

Đạo hàm của hàm số là $y'=3{{x}^{2}}-6x-3m$.

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow $ Phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ thỏa mãn $y\left( {{x}_{1}} \right).y\left( {{x}_{2}} \right)<0.$

Phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 1+m>0\Leftrightarrow m>-1$ (*).

Khi đó đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là $A\left( {{x}_{1}}\,;\,{{y}_{1}} \right)$, $B\left( {{x}_{2}}\,;\,{{y}_{2}} \right)\$.

Ta có $y=\left( \frac{x}{3}-\frac{1}{3} \right).{y}'-2\left( m+1 \right)x$.

Do đó ${{y}_{1}}=y\left( {{x}_{1}} \right)=-2\left( m+1 \right){{x}_{1}}$, ${{y}_{2}}=y\left( {{x}_{2}} \right)=-2\left( m+1 \right){{x}_{2}}$.    

$y\left( {{x}_{1}} \right).y\left( {{x}_{2}} \right)<0\Leftrightarrow 4{{\left( m+1 \right)}^{2}}{{x}_{1}}.{{x}_{2}}<0$

$\Leftrightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{2}}<0\Leftrightarrow -m<0\Leftrightarrow m>0$. 

Kết hợp với điều kiện (*) ta có $m>0$ thỏa mãn bài toán.

Xem dưới đây

Tải đề HSG Bình Thuận: HSG BÌNH THUẬN 2019