Đề:

Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}& \left( x-y \right)\left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}+3 \right)=3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+2\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & {{x}^{2}}y+{{x}^{2}}-2x-12=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\\end{align} \right.$

Hướng dẫn giải: 

Ta có:

$\left( x-y \right)\left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}+3 \right)=3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+2$$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-{{y}^{3}}+3x-3y=3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+2$     

$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1={{y}^{3}}+3{{y}^{2}}+3y+1$$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{3}}={{\left( y+1 \right)}^{3}}$$\Leftrightarrow x-1=y+1$$\Leftrightarrow y=x-2$.

Thế $y=x-2$ vào phương trình $\left( 2 \right)$ ta được phương trình:

${{x}^{2}}\left( x-2 \right)-2x-12=0$$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x-12=0$$\Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=3 \\  & {{x}^{2}}+2x+4=0\,\,\,VN \\ \end{align} \right.$.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left( x;\,y \right)=\left( 3;\,1 \right)$.