Đề:

Giải phương trình $\left( x-3 \right)\sqrt{1+x}-x\sqrt{4-x}=2{{x}^{2}}-6x-3$

Hướng dẫn giải: 

Điều kiện $-1\le x\le 4$.

Ta có

$\left( x-3 \right)\sqrt{1+x}-x\sqrt{4-x}=2{{x}^{2}}-6x-3$.

$\Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left( \sqrt{1+x}-1 \right)-x\left( \sqrt{4-x}-1 \right)=2{{x}^{2}}-6x$ .

$\Leftrightarrow \frac{\left( x-3 \right)x}{\sqrt{1+x}+1}+\frac{x\left( x-3 \right)}{\sqrt{4-x}+1}=2x\left( x-3 \right)$.

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x\left( x-3 \right)=0\,,\,\,\left( 1 \right) \\  & \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}+\frac{1}{\sqrt{4-x}+1}=2\,\,\,,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$

Giải $\left( 1 \right):\,x\left( x-3 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=3 \\\end{align} \right.\,\,\left( tm \right)$.

Giải $\left( 2 \right)$ ta có$\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}+\frac{1}{\sqrt{4-x}+1}<\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=2=VP$. Vậy  $\left( 2 \right)$ vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S=\left\{ 0;3 \right\}$