Đề:

Cho hình chóp $S.ABC$, có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$, $SA=2a$ và tam giác $ABC$ vuông tại $C$ với $AB=2a,\,\,\widehat{BAC}={{30}^{0}}$. Gọi $M$ là điểm di động trên $AC$, đặt $AM=x,\,\,\left( 0\le x\le a\sqrt{3} \right)$. Tính khoảng cách từ $S$ đến $BM$ theo $a$ và $x$. Tìm các giá trị của $x$ để khoảng cách này lớn nhất.

Hướng dẫn: 

*) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên BM. Khi đó độ dài SH chính là khoảng cách từ S đến BM.

Ta có: $\left. \begin{align}& SH\bot BM \\  & SA\bot BM \\ \end{align} \right\}\Rightarrow BM\bot \left( SAH \right)\Rightarrow BM\bot AH$.

     Do đó hai tam giác $AHM$ và $BCM$ đồng dạng nên $\frac{AH}{BC}=\frac{AM}{BM}\Rightarrow AH=\frac{AM.BC}{BM}.$

Mà $AM=x,$$BC=AB.\sin {{30}^{0}}=a,$

$\Rightarrow AH=\frac{ax}{\sqrt{4{{a}^{2}}+{{x}^{2}}-2\sqrt{3}ax}};\,\,S{{H}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{H}^{2}}={{a}^{2}}\frac{5{{x}^{2}}-8\sqrt{3}ax+16{{a}^{2}}}{{{x}^{2}}-2\sqrt{3}ax+4{{a}^{2}}}$

$\Rightarrow SH=a\sqrt{\frac{5{{x}^{2}}-8\sqrt{3}ax+16{{a}^{2}}}{{{x}^{2}}-2\sqrt{3}ax+4{{a}^{2}}}}.$

*) Do $SA$ cố định nên $SH$ lớn nhất khi và chỉ khi $AH$ lớn nhất.

Ta có $A{{H}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-2\sqrt{3}ax+4{{a}^{2}}}$.

TH1: $x=0\Rightarrow AH=0$.

TH2: $x\ne 0\Rightarrow A{{H}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{1-2\sqrt{3}\frac{a}{x}+4\frac{{{a}^{2}}}{{{x}^{2}}}}$.

Do đó AH lớn nhất khi và chỉ khi hàm số $f\left( t \right)=4{{t}^{2}}-2\sqrt{3}t+1$ nhỏ nhất, với $t=\frac{a}{x}$($t\ge \frac{\sqrt{3}}{3}$).

Mà $f'\left( t \right)=8t-2\sqrt{3}>0,\,\,\forall t\ge \frac{\sqrt{3}}{3}$, nên $f\left( t \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=\frac{\sqrt{3}}{3}$, tức là $x=a\sqrt{3}$, khi đó $AH=a\sqrt{3}$.

Từ hai trường hợp trên ta kết luận được SH lớn nhất khi và chỉ khi $x=a\sqrt{3}$.

Cách khác: 

Dễ thấy $SH\le SM\le SC\Rightarrow \,\,SH$lớn nhất là $SC$, khi đó vị trí M trùng với $C$, tức là $x=a\sqrt{3}$.

Bài tập tương tự

Bài 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $\widehat{BAC}={{60}^{0}}$  cạnh $SA=a$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Gọi M  là điểm di động trên đoạn $AB$ và $AM=x$, $0\le x\le a$ , K là hình chiếu của S trên DM. Tính độ dài đường SK theo a và x. Tìm giá trị lớn nhất của đoạn SK.

Bài 3. Đề thi HSG 11 THPT Nho Quan A, Ninh Bình năm 2018 – 2019

  Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh $SA=a$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Gọi M  là điểm di động trên đoạn BC và $BM=x$, K là hình chiếu của S trên DM. Tính độ dài đoạn SK theo a và x. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn SK.

Bài 4. Đề thi HSG 11 Nghệ An năm 2017 – 2018

            Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $SA=SB=SC=a.$ Đặt $SD=x\,\,\,\left( 0<x<a\sqrt{3} \right).$ Tìm $x$ theo $a$ để tích $SD.AC$ đạt giá trị lớn nhất.