Đề học sinh giỏi môn Toán tỉnh Kon Tum năm 2018 2019 file word có đáp án chi tiết

Câu 1.     (3 điểm) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align}& \sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}=\sqrt{y-1}+\sqrt{y+1} \\  & {{x}^{2}}+x+12\sqrt{y+1}=36 \\ \end{align} \right.$.

Câu 2.     (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đặt BC=a,AC=b, AB=c. Cho biết a, $\sqrt{\frac{2}{3}}b$ , c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Tính $B,C$.

Câu 4.      3,0điểm  Có 20 cây giống trong đó có 2 cây xoài, 2 cây mít, 2 cây ổi, 2 cây bơ, 2 cây bưởi và 10 loại cây khác 5 loại cây trên đồng thời đôi một khác loại nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 cây để trồng trong một khu vườn sao cho không có hai cây nào thuộc cùng một loại.

Câu 5 .    (5,0 điểm) Cho tam giác $ABC\left( AB>AC \right)$ là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$, H là trực tâm tam giác. Gọi J là trung điểm của BC. Gọi D là điểm đối xứng với A qua O.

1. (3,0 điểm) Gọi $M,N,P$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên $BC,CH,BH$. Chứng minh rằng tứ giác $PMJN$ nội tiếp.

2. (2,0 điểm) Cho biết $\widehat{BAC}={{60}^{0}}$, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng $2\widehat{AHI}=3\widehat{ABC}$.

Câu 6.     Tìm tất cả các số nguyên tố $a$ thỏa mãn $8{{a}^{2}}+1$ cũng là số nguyên tố.

Câu 7. (2 điểm) Cho $a,b,c$là các số thực thỏa mãn điều kiện $3{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=6$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=2\left( a+b+c \right)-abc$.

Xem chi tiết dưới đây