Chuyên đề khảo sát hàm số lớp 12 ôn thi học sinh giỏi năm 2019 2020 Nguyễn Đắc Tuấn

KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI HSG CÁC NĂM CÁC TỈNH

BÀI 1: (HUẾ 2018 – 2019) (4,0 điểm) Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x-1}$ có đồ thị $\left( C \right).$ Gọi $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị $\left( C \right).$ Tiếp tuyến tại $M$ của đồ thị $\left( C \right)$ cắt hai đường tiệm cận của đồ thị $\left( C \right)$ lần lượt tại hai điểm $A$ và $B.$

a) Chứng minh $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB.$

b) Xác định tọa độ điểm$M$ để chu vi tam giác $IAB$ nhỏ nhất.

BÀI 2: (HUẾ 2017- 2018) (4,0 điểm) Cho hàm số $y=\frac{2x-m}{mx+1},\,\,\,\left( {{H}_{m}} \right)$

a) Khi $m=1,$ hàm số đã cho có đồ thị $\left( {{H}_{1}} \right)$ cắt hai trục $Ox,Oy$ lần lượt tại hai điểm $A$ và $B.$ Tính diện tích tam giác $OAB.$

b) Chứng minh rằng với mọi $m\ne 0$ thì đồ thị hàm số $\left( {{H}_{m}} \right)$ cắt đường thẳng $\left( d \right):y=2x-2m$ tại hai điểm phân biệt $C,D$thuộc một đường $\left( H \right)$ cố định. Đường thẳng $\left( d \right)$ cắt $Ox,Oy$ lần lượt tại các điểm $M,N.$ Tìm $m$ để ${{S}_{OCD}}=3.{{S}_{OMN}}.$

BÀI 3: (HUẾ 2015-2016) (3,0 điểm) Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x-1}$ có đồ thị $\left( C \right).$ Gọi $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị $\left( C \right).$ Tiếp tuyến tại $M$ của đồ thị $\left( C \right)$ cắt hai đường tiệm cận của đồ thị $\left( C \right)$ lần lượt tại hai điểm $A$ và $B.$

a) Chứng minh $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB.$

b) Chứng minh rằng diện tích tam giác $IAB$ không đổi.

c) Xác định tọa độ điểm$M$ để chu vi tam giác $IAB$ nhỏ nhất.

Xem chi tiết dưới đây