Đề ôn tập học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2019 2020 số 13

Câu 1: (4,0 điểm)

1.  Cho hàm số $y=mx^3-3mx^2+\left({2m+1}\right)x+3-m$ (1), với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị $A$và $B$ sao cho khoảng cách từ điểm$I\left({\dfrac12;\dfrac{15}4}\right)$ đến đường thẳng $AB$ đạt giá trị lớn nhất. 

2. Câu 2: (4,0 điểm)

3. Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên $\left[{0;1000\pi }\right]$

$\dfrac{2{\sin }^4\left({x+\dfrac\pi 4}\right)-\cos \left({x+\dfrac{3\pi }4}\right)\sin \left({3x-\dfrac\pi 4}\right)-3}{2\cos x-\sqrt{2}}=0$.

1. Giải phương trình: $\sqrt{{5x^2+14x+9}}-\sqrt{{x^2-x-20}}=5\sqrt{{x+1}}$  (*)

Câu 3: (4,0 điểm)

1. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{aligned}& x^2+y^2+1=2\left({xy-x+y}\right)(1) \\& x^3+3y^2+5x-12=\left({12-y}\right)\sqrt{{3-x}}(2)\end{aligned}\right.\left({x,y\in \mathbb{R}}\right).$

2. Thầy Đắc Tuấn có 15 cuốn sách gồm 4 cuốn sách Văn, 5 cuốn sách Sử và 6 cuốn sách Địa. Các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy Đắc Tuấn chọn ngẫu nhiên 8 cuốn sách để làm phần thưởng cho một học sinh. Tính xác suất để số cuốn sách còn lại của thầy Đắc Tuấn có đủ 3 môn.   

Câu 5: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a. Biết hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm M  thoả mãn $\vec{{AD}}=3\vec{{MD}}$. Trên cạnh CD lấy các điểm I, N  sao cho $\widehat{{ABM}}=\widehat{{MBI}}$ và MN  vuông góc với BI. Biết góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là 600.

a)Tính thể tích của khối chóp S.AMCB.  b) Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SBC).

Câu 6: (2,0 điểm) Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn: $2\left({x^2+y^2}\right)=1+xy$ . Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=7\left({x^4+y^4}\right)+4x^2y^2$ . Tính M+m .

---HẾT---