Đề ôn tập học sinh giỏi mô Toán THPT năm 2019 2020 số 06 THPT Vinh Lộc

Nội dung đề: 

SỞ GD VÀ ĐT THỪA THIÊN HUẾ           ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2019-2020

     TRƯỜNG THPT VINH LỘC                                          Môn: Toán. Thời gian: 180 phút

              ĐỀ CHÍNH THỨC                                                   (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4,0 điểm)

a) Cho hàm số $y=2x^3-3mx^2+(m-1)x+1$ (1) có đồ thị là (Cm) $\left({m\in R}\right)$. Tìm $m$để đường thẳng (d): $y=2x+1$ cắt đồ thị (Cm) tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho điểm C(0;1) nằm giữa hai điểm A và B đồng thời đoạn thẳng AB có độ dài bằng $\sqrt{{55}}$.

b) Cho hàm số $y=\dfrac{x^3}3+(m-2)x^2-(2m-3)x+2017$, (m là tham số). Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1<2<x_2$.

Câu 2: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình:

$\dfrac{4\sin x}{2\cos 2x-1}+\dfrac2{2\sin x+1}=4\cos \left({x+\dfrac\pi 3}\right)\cos \left({x-\dfrac\pi 3}\right)+1.$

b) Giải phương trình:   

$3\sqrt{{3+x}}-6\sqrt{{1-x}}+4\sqrt{{3-2x-x^2}}=7-3x.$

Câu 3: (4,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{aligned}& \sqrt{{2x+1}}-\sqrt{{2y+1}}=y-x \\& 8y\left({x+\sqrt{{1-x+{(y-1)}^2}}}\right)=12x+1+7\left({\sqrt{{x-1}}+\sqrt{{y-2}}}\right) \end{aligned}\right.\text{  }$

b) Có năm đoạn thẳng có chiều dài là 1, 3, 5, 7 và 9 (cm) . Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng từ năm đoạn thẳng đó. Tính xác suất để ba đoạn thẳng được chọn có thể xếp thành một hình tam giác.

Câu 4: (3,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $\widehat{{BAC}}=45^0$, nội tiếp đường tròn tâm $I\left({4;-1}\right)$ và trung điểm của $BC$ là $M\left({3;1}\right)$. Viết phương trình các cạnh của tam giác $ABC$, biết đỉnh $A$ thuộc đường thẳng $3x+y-11=0.$

Câu 5: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, $AD=a\sqrt{2}$. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) bằng $60^0$. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SHC) theo a, với H là trung điểm của AB.

 Câu 6: (2,0 điểm) Cho hai số thực dương $a,b$ thỏa mãn: $a^4+b^4+\dfrac1{ab}\leqslant ab+2.$ Chứng minh rằng:

$\dfrac2{1+a^2}+\dfrac2{1+b^2}-\dfrac1{1+2ab}\leqslant \dfrac{13}6.$

---HẾT---

GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN     DAYHOCTOAN.VN

XEM TRỰC TUYẾN DƯỚI ĐÂY