ĐỀ ÔN TẬP HỌC SINH GIỎI THPT  2019-2020 – SỐ 01

Thời gian: 180 phút – Không kể thời gian giao đề (Ngày 09/07/2019)

Bài 1. (4,0 điểm) a) Cho hàm số $\left(C\right):y=\dfrac{3x+2}{x+2}.$ $M$ là một điểm thuộc $\left(C\right),$ tiếp tuyến của $\left(C\right)$ tại $M$ cắt hai đường tiệm cận của $\left(C\right)$ tại hai điểm $A$ và $B.$ Tìm điểm $M$ sao cho diện tích của hình tròn tâm $I$ bán kính $AB$ nhỏ nhất với $I$ là giao điểm hai đường tiệm cận của $\left(C\right).$

b) Cho hàm số $y=x^4-2mx^2+3m+1\left(1\right)$ ($m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị $m$ để đồ thị hàm số $\left(1\right)$ có điểm cực đại và cực tiểu đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích bằng $1.$

Bài 2. (4,0 điểm) 1. Giải phương trình: $5\cos \left({2x+\dfrac\pi 3}\right)=4\sin \left({\dfrac{5\pi }6-x}\right)-9.$

2. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{aligned}& x-2y-\sqrt{{xy}}=0 \\& \sqrt{{x-1}}+\sqrt{{4y-1}}=2 \end{aligned}\right.$

Bài 3. (4,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a.$ $SA$ vuông góc với đáy, góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left({ABCD}\right)$ bằng $60^0.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$ theo $a.$

Bài 4.(4,0 điểm) Hình vuông $ABCD$ có phương trình các cạnh $AB:3x-2y-1=0,CD:3x-2y-5=0,$ có tâm $I$ thuộc đường thẳng $d:x+y-1=0.$ Tìm tọa độ điểm $I$ và phương trình các đường thẳng chứa các cạnh $AD$ và $BC,$ biết điểm $A$ có tung độ âm.

Bài 5. (2,0 điểm) Cho tập $X=\left\{{1;2;3;4;5;6;7}\right\}.$ Từ $X$ lập số tự nhiên gồm $6$ chữ số đôi một khác nhau. Tính xác suất lập được số tự nhiên có $6$chữ số khác nhau trong đó chữ số $1$ và $6$không đứng cạnh nhau.

Bài 6. (2,0 điểm) Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $xy+yz+zx=2xyz.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\dfrac1{x{\left({2x-1}\right)}^2}+\dfrac1{y{\left({2y-1}\right)}^2}+\dfrac1{z{\left({2z-1}\right)}^2}.$

---HẾT---