Phương pháp tính nguyên hàm bằng đổi biến và nhân lượng liên hợp lớp 12

$I=\displaystyle\int\limits {{\dfrac{2x}{x+\sqrt{{x^2-1}}}}}dx$

Hướng dẫn: 

$I=\displaystyle\int\limits {{\dfrac{2x}{x+\sqrt{{x^2-1}}}}}dx=\displaystyle\int\limits {{\dfrac{2x\left({x-\sqrt{{x^2-1}}}\right)}{\left({x+\sqrt{{x^2-1}}}\right)\left({x-\sqrt{{x^2-1}}}\right)}dx}}$

$=\displaystyle\int\limits {{\dfrac{2x^2-2x\sqrt{{x^2-1}}}{x^2-\left({x^2-1}\right)}dx}}$ $=\displaystyle\int\limits {{2x^2dx-\displaystyle\int\limits {{2x\sqrt{{x^2-1}}}}dx}}$

$=\dfrac23x^3+c_1-\displaystyle\int\limits {{{\left({x^2-1}\right)}^{\dfrac12}d\left({x^2-1}\right)}}$

$=\dfrac23x^3+c_1-\dfrac23\left({x^2-1}\right)^{\dfrac32}+c_2$

$=\dfrac23x^3-\dfrac23\left({x^2-1}\right)^{\dfrac32}+C$ $=\dfrac23x^3-\dfrac23\left({x^2-1}\right)\sqrt{{x^2-1}}+C$

Cách khác:

Với $J=\displaystyle\int\limits {{2x\sqrt{{x^2-1}}}}dx$

Đặt $t=\sqrt{{x^2-1}}\Rightarrow t^2=x^2-1$

Suy ra: $2tdt=2xdx$

$J=\displaystyle\int\limits {{2x\sqrt{{x^2-1}}}}dx=\displaystyle\int\limits {{\sqrt{{x^2-1}}.2xdx}}$$=\displaystyle\int\limits {{t.2tdt}}$ $=2\displaystyle\int\limits {{t^2dt}}$

$=\dfrac23t^3+c_2$ $=\dfrac23\left({\sqrt{{x^2-1}}}\right)^3+c_2$ $=\dfrac23\left({x^2-1}\right)\sqrt{{x^2-1}}+c_2$

Vậy $I=\dfrac23x^3+\dfrac23\left({x^2-1}\right)\sqrt{{x^2-1}}+C.$