Bài tập toán lớp 12 có lời giải chi tiết (hàm số  lũy thừa tương giao hai đồ thị và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng)

Câu 1.Một chất điểm chuyển động có vận tốc tức thời $v\left(t\right)$ phụ thuộc vào thời gian $t$ theo hàm số $v\left(t\right)=-t^4+8t^2+500$ (m/s). Trong khoảng thời gian $t=0$ (s) đến $t=5$ (s) chất điểm đạt vận tốc lớn nhất tại thời điểm nào?

A.$t=1$.                        

B. $t=4$.                        

C.$t=2$.  

D.$t=0$.                                                            

Lời giải

Chọn C

Ta tính $v'\left(t\right)=-4t^3+16t=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& t=0 \\& t=-2(L) \\& t=2 \end{aligned}\right.$

Ta có $v\left(0\right)=500,v\left(2\right)=516,v\left(5\right)=75$

Hàm số $v\left(t\right)$ liên tục trên $\left[{0;5}\right]$ nên chất điểm đạt vận tốc lớn nhất tại thời điểm $t=2$ (s).

Câu 2.Cho biểu thức $P=\left\{{a^{\dfrac13}{\left[{a^{-\dfrac12}a^{-\dfrac13}{\left({a^2b^2}\right)}^{\dfrac23}}\right]}^{-\dfrac12}}\right\}^6$ với $a,b$ là các số dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $P=\dfrac{b^3\sqrt{a}}a$.                             

B. $P=\dfrac{\sqrt{a}}{b^3}$.                           

C.$P=b^3\sqrt{a}$.                                            

D.$P=\dfrac{\sqrt{a}}{ab^3}$.

Lời giải

Chọn D

Câu 3.   Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để hai đường thẳng $d:y=mx-3$ và $\Delta :y+x=m$ cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành.

A. $m=\sqrt{3}$.           

B. $m=\pm \sqrt{3}$.    

C. $m=3$.                      

D. $m=-\sqrt{3}$.

Lời giải

Chọn B

Trục hoành có phương trình: $y=0$.

Xét hệ phương trình: $\left\{\begin{aligned}& y+x=m \\& y=0 \end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& x=m \\& y=0 \end{aligned}\right.$.

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi: $0=m^2-3\Leftrightarrow m^2=3\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{3}$.

Câu 4.   Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 4a. Gọi H là điểm thuộc đường thẳng AB sao cho $3\vec{{HA}}+\vec{{HB}}=0$. Hai mặt phẳng $\left({SAB}\right)$ và $\left({SHC}\right)$ đều vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng $\left({SHC}\right)$.

A. $\dfrac{5a}6$.          

B. $\dfrac{12a}5$.        

C. $\dfrac{6a}5$.          

D. $\dfrac{5a}{12}$.

Lời giải

Chọn B

Trong mặt phẳng $\left({ABCD}\right)$ dựng $BI\perp HC$.

Ta có: $\left\{\begin{aligned}& \left({SAB}\right)\cap \left({SHC}\right)=SH \\& \left({SAB}\right)\perp \left({ABCD}\right);\left({SHC}\right)\perp \left({ABCD}\right) \end{aligned}\right.\Rightarrow SH\perp \left({ABCD}\right)$.

Khi đó: $\left\{\begin{aligned}& BI\perp HC \\& BI\perp SH \end{aligned}\right.\Rightarrow BI\perp \left({SHC}\right)\Rightarrow d\left({B,\left({SHC}\right)}\right)=BI$.

Xét trong tam giác $BHC$ vuông tại $B$ ta có: $\dfrac1{BI^2}=\dfrac1{BH^2}+\dfrac1{BC^2}=\dfrac1{{\left({3a}\right)}^2}+\dfrac1{{\left({4a}\right)}^2}=\dfrac{25}{144a^2}\Rightarrow BI=\dfrac{12a}5$.

Suy ra: Khoảng cách từ B đến mặt phẳng $\left({SHC}\right)$ bằng $\dfrac{12a}5$.