Bài tập đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số và tìm giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng cho trước

Câu 1.   Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\sqrt{{x^2-16x}}-x$ có phương trình là

A. $y=8.$                       

B. $y=-8.$                       

C. $y=4.$                  

D. $y=-4.$

Lời giải

Chọn D

                Ta có: Hàm số xác định $\Leftrightarrow x^2-16x\geqslant 0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x\geqslant 16 \\& x\leqslant 0 \end{aligned}\right.$

                 Tập xác định: $D=\left({-\infty ;0}\right]\cup \left[{16;+\infty }\right).$

                 Giới hạn của y khi  x dần đến $+\infty$ bằng -8 và giới hạn của y khi x dần đến $-\infty$ bằng $+\infty$.  Do đó: $y=-8$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 2.   Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\dfrac{x+1}{x+2m}$ đồng biến trên $\left({-\infty ;-3}\right)?$  

A. $2.$                             

B. $1$.                           

C. $0$                                  

D. Vô số.        

Lời giải

Chọn C

                Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{{-2m}\right\}.$                 

                Ta có: $y'=\dfrac{2m-1}{{\left({x+2m}\right)}^2}$

                 Hàm số đồng biến trên $\left({-\infty ;-3}\right)$ $\Leftrightarrow y'>0,\forall x<-3$$\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& 2m-1>0 \\& -2m\notin \left({-\infty ;-3}\right) \end{aligned}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& m>\dfrac12 \\& -2m\geqslant -3 \end{aligned}\right.$

                  $\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& m>\dfrac12 \\& m\leqslant \dfrac32 \end{aligned}\right.$ $\Leftrightarrow \dfrac12<m\leqslant \dfrac32.$

                Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m=1.$