Khoảng cách lớp 11 có lời giải

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, $AB=BC=2a;$ hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng $60^0.$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.

A.$\dfrac{2a\sqrt{{39}}}{13}.$               

B.$\dfrac{a\sqrt{{39}}}{13}.$                         

C. $2a\sqrt{{39}}.$                  

D.$\dfrac{3a\sqrt{{39}}}{13}.$

                                                                                 Tác giả: Nguyễn Đắc Tuấn   FB: Đỗ Đại Học

Lời giải

Chọn A

$\left({SAB}\right)$ và $\left({SAC}\right)$ cùng vuông góc với (ABC) nên suy ra: $SA\perp \left({ABC}\right).$

$AB\perp AC\Rightarrow SB\perp BC\Rightarrow \widehat{{SBA}}$ là góc giữa (SBC) và (ABC).

Suy ra $\widehat{{SBA}}=60^0\Rightarrow SA=AB.\tan 60^0=2a\sqrt{3}.$

Mặt phẳng qua SM và song song với$$ BC, cắt AC tại N.  Suy ra: MN // BC và N là trung điểm của AC.   $MN=\dfrac{BC}{2}=a,BM=\dfrac{AB}{2}=a.$

Kẻ đường thẳng $\Delta $ đi qua N, song song  với AB. Hạ AD vuông góc với $\Delta $ (D thuộc $\Delta $). Suy ra: AB // (SND). Do đó: $d\left({AB,SN}\right)=d\left({AB,\left({SND}\right)}\right)=d\left({A,\left({SND}\right)}\right).$

Hạ AH vuông góc với SD tại H. Suy ra: $AH\perp \left({SND}\right)\Rightarrow d\left({A,\left({SND}\right)}\right)=AH.$

Tam giác SAD vuông tại A, có: $AH\perp SD$ và $AD=MN=a.$ Suy ra: $d\left({AB,SN}\right)=AH=\dfrac{SA.AD}{\sqrt{{SA^2+AD^2}}}=\dfrac{2a\sqrt{{39}}}{13}.$