ỨNG DỤNG ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH:

$\left\{\begin{aligned}& x^7-y^7=y-x\left(1\right) \\& \sqrt{{x+1}}+\sqrt{{y+6}}=x+2\left(2\right) \end{aligned}\right.$

Bài giải.

Điều kiện: $\left\{\begin{aligned}& x+1\geqslant 0 \\& y+6\geqslant 0 \end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& x\geqslant -1 \\& y\geqslant -6 \end{aligned}\right.$

Ta có: $\left(1\right)\Leftrightarrow x^7+x=y^7+y$ (*)

Xét hàm số $f\left(t\right)=t^7+t\Rightarrow f'\left(t\right)=7t^6+1>0,\forall t$ nên hàm số $f\left(t\right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Ta lại có: $\left(*\right)\Leftrightarrow f\left(x\right)=f\left(y\right)\Leftrightarrow x=y$

Thay vào $\left(2\right),$ ta có: $\sqrt{{x+1}}+\sqrt{{x+6}}=x+2$ $\Leftrightarrow \left({\sqrt{{x+1}}-2}\right)+\left({\sqrt{{x+6}}-3}\right)=x-3$

$\Leftrightarrow \dfrac{\left({\sqrt{{x+1}}-2}\right)\left({\sqrt{{x+1}}+2}\right)}{\sqrt{{x+1}}+2}+\dfrac{\left({\sqrt{{x+6}}-3}\right)\left({\sqrt{{x+6}}+3}\right)}{\sqrt{{x+6}}+3}=x-3$

$\Leftrightarrow \dfrac{x-3}{\sqrt{{x+1}}+2}+\dfrac{x-3}{\sqrt{{x+6}}+3}-\left({x-3}\right)=0$ $\Leftrightarrow \left({x-3}\right)\left({\dfrac1{\sqrt{{x+1}}+2}+\dfrac1{\sqrt{{x+6}}+3}-1}\right)=0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=3\Rightarrow y=3 \\& \dfrac{1}{\sqrt{{x+1}}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{{x+6}}+3}=1 \end{aligned}\right.$

 Ta có:$\dfrac1{\sqrt{{x+1}}+2}+\dfrac1{\sqrt{{x+6}}+3}\leqslant \dfrac12+\dfrac13=\dfrac56<1$ nên phương trình $\dfrac1{\sqrt{{x+1}}+2}+\dfrac1{\sqrt{{x+6}}+3}=1$ vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm $\left({3;3}\right).$