Bài tập mũ và lô ga rít lớp 12 hay và khó (mức vận dụng cao) 

Chủ đề Mũ và lôgarit

Bài tập:

Giá trị của $a,\left({a>1}\right)$ thỏa mãn $x^a\leqslant a^x$ với mọi $x>1$ thuộc khoảng nào sau đây

A.$\left({2;3}\right)$     

B.$\left({1;2}\right)$

C.$\left({6;10}\right)$

D.$\left({3;6}\right)$

Bài giải.

Khi $a,x>1$ thì $x^a\leqslant a^x\Leftrightarrow \ln x^a\leqslant \ln a^x\Leftrightarrow a\ln x\leqslant x\ln a\Leftrightarrow \dfrac{\ln x}x\leqslant \dfrac{\ln a}a$  (1)

Xét hàm số $f\left(x\right)=\dfrac{\ln x}x,x>1$

Ta có: $f'\left(x\right)=\dfrac{1-\ln x}{x^2};f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow \ln x=1\Leftrightarrow x=e$

Lập bảng biến thiên, ta có: $f\left(x\right)\leqslant f\left(e\right),\forall x>1$ (2)

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra: $a=e\in \left({2;3}\right).$ Chọn đáp án A.