Bài tập ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng hay và khó (vận dụng cao)

BÀI TOÁN TÍCH PHÂN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG HAY VÀ KHÓ LỚP 12

Bài tập: (Nguyễn Đặng-Bắc Ninh)

Cho hàm số $f\left(x\right)=x^4+2x^3-3x^2+ax+b\left(C\right).$ Biết rằng đồ thị $\left(C\right)$ tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left(C\right)$ và trục $Ox?$

A.$\dfrac{36}5$

B.$\dfrac{17}{10}$

C.$\dfrac{37}5$

D.$\dfrac{81}{10}$

Lời giải.

$f\left(x\right)=x^4+2x^3-3x^2+ax+b=\left({x^2+cx+d}\right)^2$$=x^4+c^2x^2+d^2+2cx^3+2dx^2+2cdx$

           $=x^4+2cx^3+\left({c^2+2d}\right)x^2+2cdx+d^2$

Suy ra: $\left\{\begin{aligned}& 2c=2 \\ & c^2+2d=-3 \end{aligned}\right.\Rightarrow \left\{\begin{aligned}& c=1 \\& d=-2\end{aligned}\right.\Rightarrow f\left(x\right)=\left({x^2+x-2}\right)^2$

$f\left(x\right)=0\Leftrightarrow x^2+x-2=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=1 \\& x=-2 \end{aligned}\right.$

Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left(C\right)$ và trục hoành $Ox$ là:

$S=\displaystyle\int\limits_{-2}^1 {{{\left({x^2+x-2}\right)}^2dx}}$ $=\dfrac{81}{10}.$