Ứng dụng đạo hàm tìm tham số m để phương trình có nghiệm lớp 12
dayhoctoan .vn
,Đăng ngày:
2018-05-29
Đăng ký kênh youtube của
dayhoctoan nhé
Ứng dụng đạo hàm tìm tham số m để phương trình có nghiệm lớp 12
Bài tập:
Tìm $m$ để phương trình $\sqrt{{-x^2+2x+8}}-m\left({\sqrt{{x+2}}+\sqrt{{4-x}}}\right)+2=0$ có nghiệm
A.$m\in \left[{\dfrac{\sqrt{6}}3;\dfrac{5\sqrt{3}}6}\right]$
B.$m\in \left({\sqrt{2};\dfrac32}\right)$
C.$m\in \left({\dfrac{\sqrt{6}}3;\dfrac{5\sqrt{3}}6}\right)$
D.$m\in \left[{\sqrt{2};\dfrac32}\right]$
Bài giải.
Điều kiện: $-2\leqslant x\leqslant 4$
Đặt $t=\sqrt{{x+2}}+\sqrt{{4-x}},\sqrt{6}\leqslant t\leqslant 2\sqrt{3}$
Phương trình $\Leftrightarrow \dfrac{t^2-6}2-mt+2=0$ $\Leftrightarrow t^2-2mt-2=0$ có nghiệm $t\in \left[{\sqrt{6};2\sqrt{3}}\right]$
$\Leftrightarrow 2m=t-\dfrac2t$ có nghiệm $t\in \left[{\sqrt{6};2\sqrt{3}}\right]$ (*)
Xét hàm số $f\left(t\right)=t-\dfrac2t;f'\left(t\right)=1+\dfrac2{t^2}>0,\forall t\in \left[{\sqrt{6};2\sqrt{3}}\right]$ nên hàm số đồng biến trên $\left[{\sqrt{6};2\sqrt{3}}\right]$
Suy ra: $f\left({\sqrt{6}}\right)\leqslant f\left(t\right)\leqslant f\left({2\sqrt{3}}\right)$
Do đó: $\left(*\right)\Leftrightarrow \sqrt{6}-\dfrac2{\sqrt{6}}\leqslant 2m\leqslant 2\sqrt{3}-\dfrac1{\sqrt{3}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{6}}3\leqslant m\leqslant \dfrac{5\sqrt{3}}6$
Đăng ký kênh youtube của
dayhoctoan nhé