Bài tập mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có hướng dẫn giải chi tiết (Lớp 12)

BÀI TẬP:

Cho hình chóp $S.ABCD$ đều có $AB=2$ và $SA=3\sqrt{2}.$ Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng

A. $\frac{\sqrt{33}}{4}.$     

B. $\frac{7}{4}.$                     

C. $2.$                                       

D. $\frac{9}{4}.$

Lời giải

Chọn D

Gọi $O$ là giao điểm củ $AC$ và $BD,$ từ giả thiết suy ra $SO\bot \left( ABCD \right)$.

Do ABCD là hình vuông nên $AC=BC=AB\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$\Rightarrow OA=OB=OC=OD=\sqrt{2}$.

Do $\Delta SOA$ vuông tai O nên $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{(3\sqrt{2})}^{2}}-{{(\sqrt{2})}^{2}}}=4.$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD  là $R=\frac{S{{A}^{2}}}{2SO}=\frac{{{(3\sqrt{2})}^{2}}}{2.4}=\frac{9}{4}.$

Môt số$\overset{\acute{\ }}{\mathop{{}}}\,$công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp dạng đặc biệt:

1. Hình chóp có các đỉnh nhìn đọan thẳng nối hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông: Gọi $d$ là độ dài đọan thẳng đó thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là $R=\frac{d}{2}.$

2. Hình chóp đều có chiều cao $h$, độ dài cạnh bên bằng $k$ thì bán kính măt cầu ngoại tiếp hình chóp là $R=\frac{{{k}^{2}}}{2h}.$

3. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy: Gọi $h$ là chiều cao của hình chóp và ${{R}_{d}}$ là bán kính của đương tròn ngoại tiếp đa giác đáy, khi đó bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là $R=\sqrt{R_{d}^{2}+\frac{{{h}^{2}}}{4}}.$

4. Hình chóp có mặt bên vuông góc vói đáy: Goi $h$ là chiều cao của hình chóp và ${{R}_{b}},{{R}_{d}}$ lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp mặt bên (mặt bên này vuông góc vói đáy) và mặt đáy; giao tuyêń của hai mặt này có độ dài bằng $d$. Khi đó bán kính của măt cầu ngoại tiếp hình chóp là $R=\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\frac{{{d}^{2}}}{4}}.$