Bài toán hình học không gian từ đề thi học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh 2018 Tỉnh Yên Bái

Sưu tầm và biên tập thầy Nguyễn Đắc Tuấn-THPT Vinh Lộc – Huế

Câu 4. (4,0 điểm)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $3a;$ góc $\widehat{ABC}={{60}^{0}};$ các cạnh bên $SA,SB,SC$ có độ dài bằng nhau và bằng $a\sqrt{7}.$ Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $S.ABCD$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD.$

Lời giải

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right).$ Ta có: $\Delta SHA=\Delta SHB=\Delta SHC$ nên suy ra: $HA=HB=HC.$ Do đó $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$

Tam giác $ABC$ đều cạnh $3a$ nên $AC=3a;BO=\frac{3a\sqrt{3}}{2};BD=2BO=3a\sqrt{3}.$

*Tính ${{V}_{S.ABCD}}?$

${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}$

${{S}_{ABCD}}=2.{{S}_{ABC}}=2.\left( 3{{a}^{2}} \right)\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{9{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$ (hoặc $S.ABCD=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}.AC.BD=\frac{1}{2}.3a.3a\sqrt{3}=\frac{9{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$ )

$H$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $AH=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}.\frac{3a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}.$

Tam giác $SAH$ vuông tại $H$ nên $SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{7{{a}^{2}}-3{{a}^{2}}}=2a.$

${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.2a.\frac{9{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=3{{a}^{3}}\sqrt{3}$ (đvtt).

*Tính $d\left( AB,SD \right)?$

$\frac{BD}{HD}=\frac{2BO}{HO+OD}=\frac{2BO}{\frac{1}{3}BO+BO}=\frac{3}{2}.$

Ta có: $AB//CD\Rightarrow AB//\left( SCD \right).$Suy ra: $d\left( AB,SD \right)=d\left( AB,\left( SCD \right) \right)=d\left( B,\left( SCD \right) \right)=\frac{3}{2}d\left( H,\left( SCD \right) \right)$

Trong $\left( ABCD \right),$ kẻ $HN\bot CD$ tại $N.$ Ta có: $\left. \begin{align}& CD\bot HN \\ & CD\bot SH \\ \end{align} \right\}\Rightarrow CD\bot \left( SHN \right)$

$\Rightarrow \left( SHN \right)\bot \left( SCD \right)$ theo giao tuyến $SN.$

Trong $\left( SHN \right),$ kẻ $HK$ vuông góc với $SN$ tại $K\Rightarrow HK\bot \left( SCD \right)\Rightarrow HK=d\left( H,\left( SCD \right) \right).$

Kẻ $OH$ vuông góc với $CD$ tại $E.$

Ta có: $\frac{1}{O{{E}^{2}}}=\frac{1}{O{{C}^{2}}}+\frac{1}{O{{D}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{3a}{2}\right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left(\frac{3a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{16}{27{{a}^{2}}}$  $\Rightarrow OE=\frac{3a\sqrt{3}}{4}.$

Ta lại có: $\left. \begin{align} & HN\bot CD \\ &OE\bot CD \\ \end{align} \right\}\Rightarrow HN//OE\Rightarrow \frac{HN}{OE}=\frac{DH}{DO}\Rightarrow HN=\frac{DH}{DO}.OE=\frac{4}{3}.\frac{3a\sqrt{3}}{4}=a\sqrt{3}.$

Suy ra: $\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{H{{S}^{2}}}+\frac{1}{H{{N}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( 2a \right)}^{^{2}}}}+\frac{1}{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\frac{7}{12{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow HK=\frac{2a\sqrt{21}}{7}.$

Vậy $d\left( AB,SC \right)=HK=\frac{2a\sqrt{21}}{7}.$