Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 10 (Bất đẳng thức giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất) Phần 2

Bài 102.Cho $x,\,y,\,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+zx=3xyz$. Chứng minh rằng :

$\frac{{{y}^{2}}}{x({{y}^{2}}+1)}+\frac{{{z}^{2}}}{y({{z}^{2}}+1)}+\frac{{{x}^{2}}}{z({{x}^{2}}+1)}\ge \frac{3}{2}$  (1)

Lời giải

Ta có thể viết lại giả thiết $xy+yz+zx=3xyz$ thành $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$.

Đặt $a=\frac{1}{x}$; $b=\frac{1}{y}$; $c=\frac{1}{z}$. Ta có $a+b+c=3.$

Thay vào (1) ta cần chứng minh:  $\frac{a}{1+{{b}^{2}}}+\frac{b}{1+{{c}^{2}}}+\frac{c}{1+{{a}^{2}}}\ge \frac{3}{2}$.

Thật vậy $\frac{a}{1+{{b}^{2}}}=a-\frac{a{{b}^{2}}}{1+{{b}^{2}}}\ge a-\frac{a{{b}^{2}}}{2b}=a-\frac{ab}{2}$.

Làm tương tự và cộng lại ta có: $\frac{a}{1+{{b}^{2}}}+\frac{b}{1+{{c}^{2}}}+\frac{c}{1+{{a}^{2}}}\ge (a+b+c)-\frac{1}{2}(ab+bc+ca)$

Ta có bất đẳng thức quen thuộc: ${{(a+b+c)}^{2}}\ge 3(ab+bc+ca).$  

Do đó: $\frac{a}{1+{{b}^{2}}}+\frac{b}{1+{{c}^{2}}}+\frac{c}{1+{{a}^{2}}}\ge (a+b+c)-\frac{1}{6}{{(a+b+c)}^{2}}=\frac{3}{2}$. (vì $a+b+c=3$)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$  hay $x=y=z=1$.