Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 10 (Bất đẳng thức giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất)

Bài 1. Cho ba số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}=\frac{1}{\sqrt{xyz}}$  $\left( 1 \right)$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{2\sqrt{x}}{1+x}+\frac{2\sqrt{y}}{1+y}+\frac{z-1}{z+1}$

Lời giải:

Ta có $A,B,C\in (0;\pi ),A+B+C=\pi $  thì  $\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2}=1$

Theo giả thiết  $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \sqrt{x}.\sqrt{y}+\sqrt{y}.\sqrt{z}+\sqrt{z}.\sqrt{x}=1$ 

Ta có  $\sqrt{x}=\tan \frac{A}{2}$,  $\sqrt{y}=\tan \frac{B}{2}$,  $\sqrt{z}=\tan \frac{C}{2}$   với $A,B,C\in (0;\pi ),A+B+C=\pi $ 

Ta có $P=\sin A+\sin B-\cos C$ $=2\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A-B}{2}-2{{\cos }^{2}}\frac{C}{2}+1$

$=-2{{(\cos \frac{C}{2}-\frac{1}{2}\cos \frac{A-B}{2})}^{2}}+1+\frac{1}{2}{{\cos }^{2}}\frac{A-B}{2}\le \frac{3}{2}$

Vậy max $P=\frac{3}{2}$  Khi $\left\{ \begin{align}& C=\frac{2\pi }{3} \\ & A=B=\frac{\pi }{6} \\ \end{align} \right.$  

$\Leftrightarrow \left\{\begin{align}&x=y={{\tan}^{2}}\frac{\pi}{12}=\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} \\& z=3 \\ \end{align} \right.$