Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An lớp 11 năm 2017 2018 có hướng dẫn giải chi tiết và biểu điểm

HỌC SINH GIỎI TOÁN 2018 CÓ ĐÁP ÁN 

Câu 1 (6,0 điểm).

a. Giải phương trình $\tan x+4\cos x=2\sin \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)+\frac{2}{\cos x}.$

b.Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}& \left( x-2 \right)\sqrt{1+\frac{3x}{y}}=2x-y \\ & {{y}^{2}}\sqrt{1+\frac{3x}{y}}=2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x \\ \end{align} \right.$

Câu 2 (5,0 điểm).

a.Trong một hộp bi có $3$ bi đỏ, $4$ viên bi vàng, $5$ viên bi xanh; lấy ngẫu nhiên $4$ viên bi trong hộp. Tính xác suất để trong $4$ viên bi được lấy số bi đỏ lớn hơn số bi xanh.

b.Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ có $\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=2017,{{u}_{2}}=2020 \\& {{u}_{n+2}}=\frac{5{{u}_{n+1}}-2u}{3},n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\\end{align} \right.$. Tìm công thức số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$ theo $n.$

Câu 3.  Cho hình chop $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,$ tất cả các cạnh bên đều bằng $a.$ Gọi điểm $M$ thuộc cạnh $SD$ sao cho $SD=3SM,$ điểm $G$ là trọng tâm tam giác $BCD.$

a.Gọi $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng chứa $MG$ và song song với $CD.$  Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chop với mặt phẳng $\left( \alpha  \right).$

b.Xác định điểm $P$ thuộc $MA$ và điểm $Q$ thuộc $BD$ sao cho $PQ$ song song với $SC.$ Tính $PQ$ theo $a.$ 

Câu 4 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng $Oxy,$ cho tam giác đều $ABC.$ Trên các cạnh $AB,AC$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ sao cho $AM=AN.$ Biết $H\left( 0;\frac{2\sqrt{3}}{3} \right)$ là trọng tâm tam giác $AMN,$ $K\left( -\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ là trung điểm của $BN$ đồng thời các điểm $B,C$ lần lượt thuộc các đường thẳng $x+3=0$ và $2x+\sqrt{3}.y-3=0.$ Biết $B$ có tung độ âm và $C$ có hoành độ dương. Xác định tọa độ các đỉnh $A,B,C.$

Câu 5. (2,0 điểm). Cho các số $x,y,z$ thỏa mãn $0<x<y<z.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{{{x}^{3}}z}{{{y}^{2}}\left( xz+{{y}^{2}} \right)}+\frac{{{y}^{4}}}{{{z}^{2}}\left( xz+{{y}^{2}} \right)}+\frac{{{z}^{3}}+15{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}z}.$

------- HẾT-------

HƯỚNG DẪN GIẢI:

Câu 1.a.

Điều kiện: $\cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Phương trình$\Leftrightarrow \sin x+4{{\cos }^{2}}x=\sin \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right).\cos x+2$

$\Leftrightarrow \sin x+2\left( 1+\cos 2x \right)=\left( \sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x \right)\cos x+2$

$\Leftrightarrow \sin x-\sin 2x.\cos x+2\cos 2x-\sqrt{3}.\cos 2x.\cos x=0$

$\Leftrightarrow \sin x\left( 1-2{{\cos }^{2}}x \right)+\cos 2x\left( 2-\sqrt{3}\cos x \right)=0$

$\Leftrightarrow -\sin x\cos 2x+\cos 2x\left( 2-\sqrt{3}\cos x \right)=0$

$\Leftrightarrow \cos 2x\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x-2 \right)=0$

+) $\cos 2x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$

+) $\sin x+\sqrt{3}\cos x-2=0\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

So với điều kiện ta được nghiệm của phương trình:$x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2};x=\frac{\pi }{6}+k2\pi $

CÂU 1b. 

* ĐKXĐ: $\left\{ \begin{align}& y\ne 0 \\& 1+\frac{3x}{y}\ge 0 \\ \end{align} \right.$

Chia phương trình (1) cho $y$ và cho phương trình (2) cho ${{y}^{2}}.$

* Ta có: $\left\{ \begin{align}& \left( \frac{x}{y}-\frac{2}{y} \right)\sqrt{1+\frac{3x}{y}}=\frac{2x}{y}-1 \\& \sqrt{1+\frac{3x}{y}}=2{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}-\frac{4}{{{y}^{2}}}+1 \\ \end{align} \right.$

Đăt $\frac{x}{y}=a;\text{ }\frac{1}{y}=b.$ Hệ trở thành: $\left\{ \begin{align}& \left( a-2b \right)\sqrt{1+3a}=2a-1 \\& \sqrt{1+3a}=2{{a}^{2}}-4ab+1 \\ \end{align} \right.$

Cộng vế theo vế ta được $\sqrt{1+3a}\left( a-2b+1 \right)=2a\left( a-2b+1 \right)$

TH1: $\sqrt{1+3a}=2a\Rightarrow a=1\Rightarrow x=y$, thay vào phương trình (1) ta được: $x=y=4$

TH2: $a+1=2b\Leftrightarrow \frac{x}{y}+1=\frac{2}{y}\Leftrightarrow x=2-y$, thay vào phương trình (1) ta có: $y=2\Rightarrow x=0$

Vậy hệ có hai nghiệm $\left( x;y \right)=\left( 4;4 \right);\text{ }\left( 2;0 \right)$.

Câu 3.

Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi ta có số cách lấy là: $C_{12}^{4}=495$ (cách)

Ta tìm số cách lấy 4 viên bi mà số bi đỏ lớn hơn số bi xanh, xảy ra các trường hợp sau:

TH1: Chọn 1 bi đỏ, 3 bi vàng $\Rightarrow $ có $C_{3}^{1}.C_{4}^{3}=12$ (cách chọn)

TH2: Chọn 2 bi đỏ, 2 bi vàng $\Rightarrow $ có $C_{3}^{2}.C_{4}^{2}=18$ (cách chọn)

TH3: Chọn 2 bi đỏ, 1 bi xanh, 1 bi vàng $\Rightarrow $ có $C_{3}^{2}.C_{4}^{1}.C_{5}^{1}=60$ (cách chọn)

TH4: Chọn 3 bi đỏ, 1 bi vàng $\Rightarrow $ có $C_{3}^{3}.C_{4}^{1}=4$ (cách chọn)

TH5: Chọn 3 bi đỏ, 1 bi xanh $\Rightarrow $ có $C_{3}^{3}.C_{5}^{1}=5$ (cách chọn)

$P=\left(C_{3}^{1}.C_{4}^{3}+C_{3}^{2}.C_{4}^{2}+C_{3}^{2}.C_{4}^{1}.C_{5}^{1}+C_{3}^{3}.C_{4}^{1}+C_{3}^{3}.C_{5}^{1} \right):C_{12}^{4}=\frac{1}{5}$

Câu 2b.

Đặt ${{v}_{n+1}}={{u}_{n+2}}-{{u}_{n+1}}=\frac{5{{u}_{n+1}}-2{{u}_{n}}}{3}-{{u}_{n+1}}=\frac{2}{3}\left( {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}} \right)=\frac{2}{3}{{v}_{n}},\text{ }\forall n\in \mathbb{N}*$

Suy ra $\left( {{v}_{n}} \right)$ là một CSN với số hạng đầu ${{v}_{1}}={{u}_{2}}-{{u}_{1}}=3$ và công bội $q=\frac{2}{3}$.

Ta có tổng n số hạng đầu của CSN là

${{S}_{n}}={{v}_{1}}+{{v}_{2}}+....+{{v}_{n}}=\frac{3\left[ 1-{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{n}} \right]}{\frac{1}{3}}=9\left[ 1-{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{n}} \right]$

Mặt khác ta có:

$\begin{align} & {{v}_{2}}={{u}_{2}}-{{u}_{2}} \\  & {{v}_{1}}={{u}_{3}}-{{u}_{1}} \\  & ................. \\  & {{v}_{n-1}}={{u}_{n}}-{{u}_{n-1}} \\ \end{align}$

Cộng theo vế ta được: ${{v}_{1}}+{{v}_{2}}+....+{{v}_{n-1}}={{u}_{n}}-{{u}_{1}}$

Từ đó suy ra công thức số hạng tổng quát của dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ là:

${{u}_{n}}={{S}_{n}}+{{u}_{1}}=9\left[ 1-{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{n-1}} \right]+2017.$