Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hải Dương lớp 10 năm 2017 2018 có hướng dẫn giải chi tiết

Câu I (2,0 điểm)

             1) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số \[y=\frac{6{{x}^{2}}-4\text{x}+2018}{\sqrt{(m-1){{x}^{2}}+2(m-1)x+4}}\] có tập xác định là $\mathbb{R}$.

            2) Cho hai hàm số $y={{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-2m$ và $y=2x+3$. Tìm $m$ để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$ phân biệt sao cho $O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}$nhỏ nhất (trong đó $O$ là gốc tọa độ).

Câu II (3,0 điểm)

            1) Giải phương trình               $3\sqrt{5-x}+3\sqrt{5x-4}=2x+7\,\,\,\,\,\,$

            2) Giải bất phương trình        

                         $\sqrt{11{{x}^{2}}-19x-19}-\sqrt{{{x}^{2}}-x-6}<2\sqrt{2x+1}$

            3) Giải hệ phương trình         

$\left\{ \begin{align}  & xy\left( 4xy+y+4 \right)={{y}^{2}}\left( 2y+5 \right)-1 \\  & 2xy\left( x-2y \right)+x-14y=0 \\ \end{align} \right.$

Câu III (3,0 điểm)

            1) Cho tam giác$ABC$có$AB=6;BC=7;CA=5$.Gọi$M$là điểm thuộc cạnh$AB$sao cho                   $AM=2MB$ và $N$ là điểm thuộc $AC$ sao cho  $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AC}$ ($k\in \mathbb{R}$).Tìm $k$ sao cho đường thẳng$CM$ vuông góc với đường thẳng$BN$.

            2) Cho tam giác$ABC$ có $BC=a,CA=b,AB=c$ và $p$ là nửa chu vi của tam giác. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Biết $\frac{c(p-a)}{I{{A}^{2}}}+\frac{a(p-b)}{I{{B}^{2}}}+\frac{b(p-c)}{I{{C}^{2}}}=\frac{9}{2}$. Chứng minh rằng tam giác $ABC$ đều.

            3) Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$ có phương trình đường thẳng $AB$là $x-2y+1=0$. Biết phương trình đường thẳng $BD$ là $x-7y+14=0$và đường thẳng $AC$đi qua điểm $M(2,1)$.Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.

Câu IV (1,0 điểm)

            Một xưởng sản xuất có hai máy, sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng. Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I cần máy thứ nhất làm việc trong 3 giờ và máy thứ hai làm việc trong 1 giờ. Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại II cần máy thứ nhất làm việc trong 1 giờ và máy thứ hai làm việc trong 1 giờ. Mỗi máy không đồng thời làm hai loại sản phẩm cùng lúc. Một ngày máy thứ nhất làm việc không quá 6 giờ, máy thứ hai làm việc không quá 4 giờ. Hỏi một ngày nên sản xuất bao nhiêu tấn mỗi loại sản phẩm để tiền lãi lớn nhất?

Câu V (1,0 điểm) 

            Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c$ dương thỏa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=27$thì:

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge \frac{12}{{{a}^{2}}+63}+\frac{12}{{{b}^{2}}+63}+\frac{12}{{{c}^{2}}+63}$.

                                    ........................................ Hết ......................................