[Học sinh giỏi Toán 11] Bài tập cấp số cộng lớp 11 (tự luận)

CẤP SỐ CỘNG

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ được ký hiệu là $\div \left( {{u}_{n}} \right)$

2. Cho $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số cộng có công sai d. Ta có: ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d,\forall n\ge 2$

3. Tính chất: Với $\div \left( {{u}_{n}} \right)$ , ta có:

a) ${{u}_{n}}=\frac{{{u}_{n-1}}+{{u}_{n+1}}}{2},\forall n\ge 2$

b) ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}=\frac{n}{2}\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)$

c) ${{S}_{n}}=n{{u}_{1}}+\frac{n\left( n-1 \right)d}{2}$ (với d là công sai)

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Bài 1. Trong các dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm công sai d của cấp số cộng đó.

a) ${{u}_{n}}=7-3n$                        

b) ${{u}_{n}}=\frac{n}{3}-2$

c)${{u}_{n}}={{2}^{n}}$

d)${{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}+2n$

Bài 2. Hãy tìm số hạng ${{u}_{1}}$ và công sai $d$ của cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right),$ biết rằng: $\left\{ \begin{align}  & {{u}_{2}}+{{u}_{5}}-{{u}_{3}}=10 \\  & {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\ \end{align} \right.$

Bài 3. Cho các số ${{u}_{1}},{{u}_{2}},{{u}_{3}},{{u}_{4}},{{u}_{5}}$ lập thành cấp số cộng, biết rằng: $\left\{ \begin{align}  & {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}=15 \\  & u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+u_{4}^{2}+u_{5}^{2}=55 \\ \end{align} \right.$

Bài 4. Một cấp số cộng có 8 số hạng, số hạng thứ nhất là $30$ và số hạng cuối cùng là $114.$ Tìm các số hạng của cấp số cộng này.

Bài 5. Một cấp số cộng có $5$ số hạng, biết tổng các số hạng này là $-5$ và tổng bình phương của chúng là $45.$ Tìm các số hạng của cấp số cộng này.

Bài 6. Một cấp số cộng có 5 số hạng, biết tổng các số hạng này là $-5$ và hiệu giữa số hạng cuối và đầu bằng $8.$ Tìm các số hạng của cấp số cộng này.

Bài 7. Tìm ${{u}_{1}}$ và $d$ của cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right),$ biết:

a)$\left\{ \begin{align}  & {{u}_{1}}+{{u}_{15}}=60 \\  & u_{4}^{2}+u_{12}^{2}=1170 \\ \end{align} \right.$ b)$\left\{ \begin{align}  & {{u}_{17}}-{{u}_{20}}=9 \\  & u_{17}^{2}+u_{20}^{2}=153 \\ \end{align} \right.$

Bài 8. Cho $a,b,c$ theo thứ tự ấy lập thành một cấp số cộng. Chứng minh:

1. ${{a}^{2}}+2bc={{c}^{2}}+2ab$

2. ${{a}^{2}}+8bc={{\left( 2b+c \right)}^{2}}$

Bài 9. Tính: ${{S}_{1}}={{100}^{2}}-{{99}^{2}}+{{98}^{2}}-{{97}^{2}}+...+{{2}^{2}}-{{1}^{2}}$

Bài 10. Tính: ${{S}_{2}}=105+110+115+120+...+995+1000.$