CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 11 (TỔ HỢP XÁC SUẤT VÀ NHỊ THỨC NEWTON) CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Bài 1.Trong thư viện có$12$ bộ sách gồm $3$ bộ sách Toán giống nhau, $3$ bộ sách Vật lý giống nhau, $3$ bộ sách Hóa học giống nhau và $3$ bộ sách Sinh học giống nhau được xếp thành một dãy sao cho không có ba bộ nào cùng một môn đứng kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp như vậy ?

Lời giải

Gọi $A$ là tập hợp các cách xếp $12$ bộ thành một dãy tùy ý

Gọi $A_1$ là tập hợp các cách xếp $3$ bộ sách Toán đứng kề nhau

Gọi $A_2$ là tập hợp các cách xếp $3$ bộ sách Lý đứng kề nhau

Gọi $A_3$ là tập hợp các cách xếp $3$ bộ sách Hóa đứng kề nhau

Gọi $A_4$ là tập hợp các cách xếp $3$ bộ sách Sinh đứng kề nhau

Gọi ${A}^{*}$ là tập hợp các cách xếp thỏa yêu cầu đề bài

Ta có ${A}^{*}=A\backslash \bigcup\limits_{i=1}^4{A_i}\Rightarrow \left| {A}^{*}\right|=\left| A\right|-\left| \bigcup\limits_{i=1}^4{A_i}\right|$

Mà         $\left| A\right|=\dfrac{12!}{(3!)^4}=369600$

$| \bigcup\limits_{i=1}^4{A_i}|=C_4^1\dfrac{10!}{(3!)^3}+C_4^2\dfrac{8!}{(3!)^2}+C_4^3\dfrac{6!}{(3!)^1}+C_4^4\dfrac{4!}{(3!)^0}=60936$

$\Rightarrow \left| {A}^{*}\right|=369600-60936=308664$

Bài 2.Rút gọn biểu thức:

$A=C_{2012}^1-2^2C_{2012}^2+{3.2}^2C_{2012}^3-{4.2}^3C_{2012}^4+...+{2011.2}^{2010}C_{2012}^{2011}-{2012.2}^{2011}C_{2012}^{2012}$

Bài 12. Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau.

Lời giải

Xét phép thử : T = "Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên cónăm chữ số mà các chữ số đều khác 0".

Ta có:

|$\Omega$| = $9^5$=$59049$

Gọi A là biến cố cần tìm xác suất, ta có:

Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số thập phân khác 0 là $C_9^3$. Chọn 2 chữ số còn lại từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp rời nhau sau đây:

TH1.  Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 3! hoán vị của các vị trí mà a, a, a chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong TH1 này có cả thảy $3\cdot \dfrac{5!}{3!}=60$ số tự nhiên.

TH2. 1 trong 2 chữ số còn lại bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c và chữ số kia bằng 1 chữ số khác trong 3 chữ số đó: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 2! hoán vị của các vị trí mà a, a chiếm chỗ và 2! hoán vị của các vị trí mà b, b chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong TH2 này có cả thảy $3\cdot \dfrac{5!}{2!2!}=90$ số tự nhiên.

Vậy: $|{\Omega}_A|=(60+90)C_9^3=150\cdot\dfrac{9!}{3!6!}=150\cdot 7\cdot 4\cdot 3= 12600$.

Kết luận: $PA=\dfrac{|{\Omega}_A|}{|\Omega|}=\dfrac{12600}{59049}=\dfrac{1400}{6561}\approx  0,213382106$