Đề học sinh giỏi môn Toán lớp 12 Tỉnh Cao Bằng năm học 2017 2018 có đáp án chi tiết

Câu 1:(6,0 điểm)

1.Tìm các giá trị của $m$ để hàm số $y=\left(1-m\right)x^3+3\left(m+1\right)x^2-4mx-m$ luôn đồng biến trên tập số thực.

2.Tìm trên trục hoành các điểm có thể kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2}{x-1} (C).$ Biết hai tiếp tuyến đó tạo với nhau một góc $45^\circ $.

3.Giải hệ phương trình:

$x^2+y=1;$

$\log_3\dfrac{5-y^2}{x^2+2y^2}=x^2+3y^2-5$

Câu 2:(2,0 điểm)

Giải phương trình: $1+\cot 2x=\dfrac{4\sin^2x}{1-\cos 4x}$.

Câu 3:(2,0 điểm)

Tính $I=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim}}\dfrac{2x-\sqrt{x+3}}{{\left(1-x\right)}^3}$.

Câu 4:(2,0 điểm)

Một hộp chứa $11$ quả cầu được đánh số theo thứ tự từ $1$ đến $11,$ lấy ngẫu nhiên $6$ quả cầu. Tính xác suất để tổng của các số được ghi trên $6$ quả cầu đó là số lẻ.

Câu 5:(2,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, các cạnh $AB$ và $BC$ lần lượt nằm trên hai đường thẳng có phương trình $12x-y-23=0$ và $2x-5y+1=0$, đường thẳng $AC$ đi qua điểm $M\left(3;1\right)$. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$.

Câu 6:(4,0 điểm)

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tâm $O$. Đường cao của hình chóp là $SA=a$. $M$ là một điểm di động trên $SB$, đặt $BM=x\sqrt{2}$. $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng qua $OM$ và vuông góc với $\left(ABCD\right)$.

1. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $\left(\alpha \right)$.

2. Tính diện tích thiết diện theo $a$ và $x$.

3. Xác định $x$ để thiết diện là hình thang vuông. Trong trường hợp đó tính thể tích của hai phần của $S.ABCD$ chia bởi thiết diện.

Câu 7:(2,0 điểm)

Cho ba số dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$.

Chứng minh rằng:$\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\ge \dfrac{3\sqrt[]{3}}{2}$.

XEM TRỰC TUYẾN VÀ TẢI VỀ DƯỚI ĐÂY