Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 Quảng Ninh năm 2017 2018 (có đáp án và lời giải chi tiết)

Bài 1:(3 điểm) Cho hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x+1}$ có đồ thị $H$, điểm $A\left(-4;-1\right)$ và đường thẳng $d:y=-x+m$ (với $m$ là tham số). Gọi $B$, $C$ là giao điểm của $d$ và $H$. Chứng minh rằng tam giác $ABC$ cân tại $A$ với mọi $m$. Tìm các giá trị của $m$ để tam giác $ABC$ đều.

Bài 2:(3 điểm)

1) Cho tam giác $ABC$ có đường trung tuyến $CM$ vuông góc với đường phân giác trong $AD$, biết $CM=\dfrac{1}{2}AD$, chứng minh $\cos A=\dfrac{4}{5}$.

2) Tính giới hạn $\underset{x\to-1}{\mathop{\lim}}\dfrac{\left(5x^2+12x+6\right)\sqrt{2000x+2001}+\sqrt[3]{2017x+2018}}{x+1}$.

Bài 3:(3 điểm). Giải hệ phương trình

Bài 4:(3 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB>AC$). Trên cạnh $AB$ lấy điểm $I$ sao cho $AI=AC$. Đường tròn đường kính $IB$ cắt $BC$ tại $M\left(\dfrac{60}{17};\dfrac{15}{17}\right)$ (điểm $M$ khác $B$) và cắt $CI$ kéo dài tại điểm $N\left(4;-1\right)$. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$ biết điểm $A$ thuộc đường thẳng $d$ có phương trình $2017x+2018y=0$.  

Bài 5:(4 điểm). Trong mặt phẳng $P$cho nửa đường tròn đường kính $AB=2a,C$  là một điểm di động trên nửa đường tròn đó (điểm $C$  không trùng với $A$  và $B$)Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $P$ tại $A$ lấy điểm $S$ sao cho$SA=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$ .Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SB$ và $SC$.

1) Khi $\cos \widehat{BAC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ ,hãy tính thể tích khối đa diện $ABCDE$ theo $a$.

2) Giả sử $DE$ cắt $BC$ tại $M$ , đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left(SBC\right)$ tại$D$ cắt mặt phẳng $P$ tại $N$ .Chứng tỏ $A,M,N$ thẳng hàng. Tính côsin của góc$\widehat{BAC}$ để đoạn thẳng $MN$ có độ dài ngắn nhất.

Bài 6:(2 điểm). Cho hai số thực $x,\ y$ khác $0$ thỏa mãn  $2\left(x^4+y^4\right)=x^4.y^4$ . Tìm các giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\dfrac{x^2}{y^2+1}+\dfrac{y^2}{x^2+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x^4+y^4+1}}.$

XEM TRỰC TUYẾN DƯỚI ĐÂY