Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2017 2018 Sở giáo dục Hà Nam có đáp án chi tiết (lớp 10 11 12)

Đề thi và đáp án gồm 22 trang. Học sinh lớp 10, 11, 12 có thể tham khảo. GV tham khảo để bồi dưỡng cho các em học sinh.

LỚP 10:

Câu 1. (5,0 điểm)

1. Cho đường thẳng $d_m:y=mx-2m+1$ và parabol (P): $y=x^2-3x+2$ (m là tham số thực). Chứng minh $d_m$ luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số m. Tìm m để khoảng cách từ đỉnh I của parabol (P) đến đường thẳng $d_m$ đạt giá trị lớn nhất.

2. Cho phương trình $x^4+3x^3+(2m-3)x^2+12x+16=0$ (m là tham số thực). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm thực.

Câu 2. (5,0 điểm)

1. Giải phương trình $\dfrac{7x+4}{\sqrt{2x^2-2}}+2\dfrac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt{2x+2}}=3+3\dfrac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt{x-1}}$            ($x\in \mathbb{R}$).

2. Giải hệ phương trình

Câu 3. (5,0 điểm)

1. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi d là đường thẳng cố định đi qua G và d’ là đường thẳng bất kỳ song song với d. Chứng minh rằng tổng bình phương khoảng cách từ các đỉnh của tam giác ABC  đến đường thẳng d không vượt quá tổng bình phương khoảng cách từ các đỉnh của tam giác ABC đến đường thẳng d’.

2. Cho tam giác ABC, lấy một điểm M bất kỳ thuộc miền trong của tam giác sao cho $\widehat{MAB}=\widehat{MBC}=\widehat{MCA}=\alpha $. Chứng minh rằng: $\cot \alpha =\cot A+\cot B+\cot C$.

3. Cho tam giác ABC có 3 góc thỏa mãn ${\left(\sin A\right)}^{2018}={\left(\sin B\right)}^{2018}+{\left(\sin C\right)}^{2018}$. Chứng minh rằng tam giác ABC có 3 góc nhọn.

Câu 4. (3,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang cân ABCD (cạnh đáy AB), AB = 2CD, $\widehat{ADC}=135^0$. Gọi I là giao điểm của AC và BD, đường thẳng d đi qua I và vuông góc với hai cạnh đáy của hình thang có phương trình $x-3y-4=0$. Tìm tọa độ điểm A biết diện tích của hình thang ABCD là $\dfrac{15}{2}$, hoành độ của điểm I là 3 và trung điểm của AB có tung độ không âm.

Câu 5. (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=6$. Chứng minh rằng:

$\dfrac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^3+1}}\ge 2$.

---

Lớp 11:

Câu 1. (5,0 điểm)

1. Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên $\left[0;100\pi \right]$

$\dfrac{2\sin 2x-\cos 2x-5\sin x+2\cos x-2}{2\cos x+\sqrt{3}}=0.$

2. Cho hàm số .... (m là tham số thực).

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên xác định với mọi $x\in \mathbb{R}.$

Câu 2. (4,0 điểm)

1. Cho $n>3,n\in \mathbb{N}$ thỏa mãn $\dfrac{C_{n+1}^{n+1}}{n\left(n+1\right)}+\dfrac{C_{n+2}^{n+1}}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\dfrac{C_{n+2018}^{n+1}}{\left(n+2017\right)\left(n+2018\right)}=\dfrac{C_{2026}^9}{90}.$

Tìm hệ số của số hạng chứa $x^n$ trong khai triển biểu thức ${\left(1+2x\right)}^{n+3}{\left(\dfrac{1}{4}+x+x^2\right)}^3$thành đa thức.

2. Cho X là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau mà tổng các chữ số bằng 18. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp X, tính xác suất để số được chọn là số chẵn.

Câu 3. (2,0 điểm) Cho dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định như sau $u_1=4$, $9{u}_{n+1}=u_n+4+4\sqrt{1+2u_n},n\in {N}^{*}$       Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số $\left(u_n\right).$

Câu 4. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp trong đường tròn (C) có tâm O và điểm G sao cho $3\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AO}.$ Gọi D là điểm thay đổi trên đường tròn (C). Gọi M, I lần lượt là trung điểm của AD và OM. Tìm tập hợp điểm I khi D thay đổi trên đường tròn (C).

Câu 5. (5,0 điểm) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tâm là G, $AB=AD=AA'=a$ và $\widehat{BAD}=120^0,\widehat{DAA'}=90^0,\widehat{BAA'}=60^0.$

1. Một mặt phẳng$\left(\alpha \right)$ đi qua điểm M thuộc cạnh BC (M khác B và C), song song với mặt phẳng $\left(A'BD\right)$ và cắt hình hộp theo thiết diện là đa giác có diện tích bằng $\dfrac{3a^2\sqrt{2}}{4}.$ Tìm vị trí điểm M.

2. Trên các đoạn $C'A',C'B,C'D$ lần lượt lấy các điểm $A_1,B_1,D_1$ (khác $C'$) sao cho bốn điểm $A_1,B_1,D_1,G$ luôn đồng phẳng. Đặt $C'A'=x.C'A_1,C'B=y.C'B_1,C'D=z.C'D_1.$ Tính chu vi của tam giác $A_1B_1D_1$ theo $a$ khi biểu thức $P=xy+yz+zx$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 6. (2,0 điểm) Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xyz+x+z=y.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{2}{x^2+1}-\dfrac{2}{y^2+1}-\dfrac{4z}{\sqrt{z^2+1}}+\dfrac{3z}{\left(z^2+1\right)\sqrt{z^2+1}}.$

---HẾT---

LỚP 12:

Câu 1. (5,0 điểm)

1. Cho hàm số $y=-x^3+3mx^2+3(1-m^2)x+m^3-m^2$, với $m$ là tham số thực. Chứng minh rằng$\forall m\in \mathbb{R}$ hàm số trên luôn có hai điểm cực trị. Tìm tọa độ điểm $M$thuộc đồ thị hàm số trên thỏa mãn điều kiện điểm $M$vừa là điểm cực đại của đồ thị hàm số ứng với giá trị này của $m$ đồng thời điểm $M$vừa là điểm cực tiểu của đồ thị ứng với giá trị khác của $m$.

2. Cho hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$, điểm $I(3;3)$ và đường thẳng $d:y=-x+m$. Tìm $m$ để đường thẳng $d$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho diện tích tứ giác $OAIB$ bằng 6 ($O$ là gốc tọa độ).

Câu 2. (4,0 điểm)

1. Giải bất phương trình sau trên tập số thực

$x^2+9+\log_2\left(\dfrac{16x^2+96x+208}{\sqrt{12x+16}+\sqrt{45x+81}}\right)\le 2\sqrt{3x+4}-6x+3\sqrt{5x+9}$.

2. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực

Câu 3. (2,0 điểm) Tính tích phân $I=\int\limits_{\dfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{2}}{\dfrac{x^2}{(x^2-1)\cos^2x+1-x\sin 2x}dx}.$

Câu 4. (5,0 điểm)

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết AB=SD=3a, AD=SB=4a, đường chéo AC vuông góc với mặt phẳng (SBD). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SA.

2. Cho mặt cầu có tâm O và bán kính R. Từ một điểm S bất kỳ trên mặt cầu ta dựng ba cát tuyến bằng nhau, cắt mặt cầu tại các điểm A, B, C (khác với S) và $\widehat{ASB}=$$\widehat{BSC}=$$\widehat{CSA}=\alpha $. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo R và $\alpha $. Khi $\alpha $ thay đổi, tìm $\alpha $ để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất.

Câu 5. (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S)$đi qua điểm $A(2;-2;5)$và tiếp xúc với các mặt phẳng $(\alpha):x=1;(\beta):y=-1;(\gamma):z=1$. Viết phương trình mặt cầu $(S)$.

Câu 6. (2,0 điểm) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab\ge 1$ và $c(a+b+c)\ge 3$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\dfrac{b+2c}{1+a}+\dfrac{a+2c}{1+b}+6\ln (a+b+2c)$.

---HẾT---

XEM THÊM DƯỚI ĐÂY