Đề thi học sinh giỏi Bắc Ninh năm 2013 2014 môn Toán có đáp án chi tiết

 Câu 1. (4 điểm) Cho biểu thức $P=\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\dfrac{2(x-1)}{\sqrt{x}-1} \left(x\ne 0, x\ne 1\right).$

1. Rút gọn P.

2. Tìm giá trị của x để $P=3$}

Câu 2. (4 điểm) Cho phương trình $x^2+(4m+1)x+2(m-4)=0$ (1), x là ẩn số, m là tham số.

1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

2. Gọi x_1, x_2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để $\left| x_1-x_2\right|=17$}

Câu 3.

1. Giải hệ phương trình $\heva{

& 4x^2+y^4-4xy^3=1 \\

& 2x^2+y^2-2xy=1 \\}$

2. Cho các số thực m, n, p thỏa mãn $n^2+np+p^2=1-\dfrac{3m^2}{2}.$ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $S=m+n+p$}

Câu 4. (5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định. Gọi Ax và Ay là hai tia thay đổi luôn tạo với nhau góc 60^0 và nằm về hai phía của đường thẳng AB, cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N. Đường thẳng BN cắt Ax tại E, đường thẳng BM cắt Ay tại F. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng EF.

1. Chứng minh rằng $\dfrac{EF}{AB}=\sqrt{3}$.

2. Chứng minh OMKN là tứ giác nội tiếp.

3. Khi tam giác AMN đều, gọi C là điểm di động trên cung nhỏ AN $(C\ne A, C\ne N).$ Đường thẳng qua M và vuông góc với AC cắt NC tại D. Xác định vị trí của điểm C để diện tích tam giác MCD là lớn nhất}

Câu 5. (3 điểm)

1. Cho 2014 số nguyên dương không lớn hơn 2014 và có tổng bằng 4028. Chứng minh rằng từ 2014 số đó luôn chọn được các số mà tổng của chúng bằng 2014.

2. Cho tam giác ABC có các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CA. Gọi giao điểm của AE với BF và CD lần lượt là Q, R, giao điểm của CD và BF là P. Biết diện tích bốn tam giác ADR, BEQ, CFP, PQR cùng bằng 1. Chứng minh các tứ giác AFPR, BDRQ, CEQP có diện tích bằng nhau.

-------------HẾT-------------