Một số phương trình vô tỉ có lời giải chi tiết Nguyễn Đắc Tuấn

Bài 1. Giải phương trình: \(\sqrt{x+1}-\sqrt[3]{2x-6}-2=0\ \ (1)\)

Bài giải.

Điều kiện: \(x\geq-1.\)

Đặt \(u=\sqrt{x+1}\geq0;v=\sqrt[3]{2x-6}\)

Ta có:

 \(u^2=x+1;v^3=2x-6\Rightarrow2u^2=2x+2\\ \Rightarrow2u^2-v^3=8\ \ \ (2)\)

Từ (1), ta có: \(u-v=2\iff u=v+2\ \ (3)\)

Thay (3) vào (2), ta có:

 \(2(v+2)^2-v^3=8\\ \iff 2(v^2+4v+4)-v^3=8\)

\(\iff v^3-2v^2-8v=0\\ \iff v(v^2-2v-8)=0\)

\(​​\iff v=0\) hoặc \(v^2-2v-8=0\)

\(​​\iff v=0\) hoặc \(v=4\)hoặc \(v=-2\)

* \( v=0\Rightarrow u=2\)

Suy ra: x = 3 (thỏa)

* \( v=4\Rightarrow u=6\Rightarrow x=35\) (thỏa)

*\( v=-2\Rightarrow u=0\Rightarrow x=-1\)(thỏa)

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là: x =-1; x =3; x = 35.

Bài 2. Giải phương trình: \(\sqrt{5x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-4}\ \ (1)\)

Bài giải.

Điều kiện: \(x\geq2.\)

\(\sqrt{5x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-4}\\ \iff \sqrt{5x-1}=\sqrt{2x-4}+\sqrt{x-1}\)

\(\iff 5x-1=2x-4+x-1+2\sqrt{(2x-4)(x-1)}\\ \iff \sqrt{2x^2-6x+4}=x+2\\ \iff 2x^2-6x+4=x^2+4x+4\\ \iff x^2-10x=0\\\)

\(​​\iff x=10\)hoặc x = 0 (loại)

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 10.

Bài 3. Giải phương trình: \(\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=2x-12+2\sqrt{x^2-16}\ \ (*)\)

Hướng dẫn: 

Điều kiện: \(-4\leq x \leq 4.\)

Đặt \(t=\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}\Rightarrow t^2=x+4+x-4+2\sqrt{(x+4)(x-4)}=2x+2\sqrt{x^2-16}\)

Suy ra: \(2x-12+2\sqrt{x^2-16}=t^2-12\)

Do đó: \((*)\iff t=t^2-12\iff t^2-t-12=0\)

\(\iff t=4\)hoặc \(t=-3\)(loại)

*Với \(t=4,\)ta có: 

\(16=2x+2\sqrt{x^2-16}\iff \sqrt{x^2-16}=8-x\)

\(\iff \begin{cases} 8-x\geq0 &\\ x^2-16=64-16x+x^2 &\\ \end{cases}\)

\(\iff \begin{cases} x\leq8 &\\ x=5 &\\ \end{cases}\iff x=5\)(thỏa điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là: x = 5.

Một số bài tập luyện tập:

Bài 4. Giải phương trình: \(2(1-x)\sqrt{x^2+2x-1}=x^2-2x-1.\)

Bài 5. (Tương tự như bài 2) Giải phương trình: \(\sqrt{x+12}-\sqrt{x-3}=\sqrt{2x+1}.\)