Bài tập vec tơ có lời giải bài tổng và hiệu hai vec tơ lớp 10 do thầy Nguyễn Đắc Tuấn biên soạn.

Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Dựng bên ngoài tứ giác các hình bình hành ABEF, BCGH, CDIJ, DAKL. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow{KF}+\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{GJ}+\overrightarrow{IL}=\overrightarrow{0}.\)

b) \(\overrightarrow{EL}-\overrightarrow{HI}=\overrightarrow{FK}-\overrightarrow{GJ}.\)

Hướng dẫn giải.

Hình vẽ minh họa:

                                                 

Lời giải.

a) VT \(=(\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AK})+(\overrightarrow{BH}-\overrightarrow{BE})+(\overrightarrow{CJ}-\overrightarrow{CG})+(\overrightarrow{DL}-\overrightarrow{DI})\)

\(=(\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BE})+(-\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{DL})+(\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{CG})+(\overrightarrow{CJ}-\overrightarrow{DI})\)

\(=\overrightarrow{0}\)(đpcm)

b) \(\overrightarrow{EL}-\overrightarrow{HI}=\overrightarrow{FK}-\overrightarrow{GJ}\)

\(\iff ​​\overrightarrow{EL}-\overrightarrow{HI}-\overrightarrow{FK}+\overrightarrow{GJ}=\overrightarrow{0}\)

\(\iff ​​(\overrightarrow{AL}-\overrightarrow{AE})-(\overrightarrow{CI}-\overrightarrow{CH})-(\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AF})+(\overrightarrow{CJ}-\overrightarrow{CG})=\overrightarrow{0}\)

\(\iff ​​(\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AD})-(\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AB})-[(\overrightarrow{CD}\\+\overrightarrow{CJ})-(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CG})]-(\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AF})+(\overrightarrow{CJ}-\overrightarrow{CG})=\overrightarrow{0}\)

\(\iff \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}-(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB})=\overrightarrow{0}\)

\(\iff \overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0}\) (luôn đúng)

Vậy \(\overrightarrow{EL}-\overrightarrow{HI}=\overrightarrow{FK}-\overrightarrow{GJ}\)(đpcm)

Bài 2. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Chứng minh: \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{0}.\)

Hướng dẫn: 

                                                           

\(VT=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}\\ =(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD})+(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE})+(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OF})\\ =\overrightarrow{0}=VP.\)

Bài 3. Cho năm điểm A, B, C, D, E. Hãy tính tổng \( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+​​\overrightarrow{DE}.\)

Bài giải.

\( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+​​\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AE}\)

Bài 4. Cho 4 điểm bất kỳ A, B, C, D. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+​​\overrightarrow{BC}.\)

b) \( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+​​\overrightarrow{CB}.\)

c) \( \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}.\)

Bài giải.

a) Cách 1. Biến đổi vế trái thành vế phải.

\( VT=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\\ =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\\ =(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD})=\overrightarrow{AD}+​​\overrightarrow{BC}=VP\)

Cách 2. Biến đổi tương đương

\( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+​​\overrightarrow{BC}\\ \iff \overrightarrow{AC}- \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{BC}- \overrightarrow{BD}\\ \iff \overrightarrow{DC}= \overrightarrow{DC}\)

(luôn đúng)

Vậy  đẳng thức đã cho đúng.

b) tương tự như câu a)

\( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+​​\overrightarrow{CB}\\ \iff \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{CB}- \overrightarrow{CD}\)

\(\iff \overrightarrow{DB}= \overrightarrow{DB}\)(luôn đúng)

Vậy đẳng thức đã cho đúng.

c) 

\( \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}\\ \iff \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{CD}- \overrightarrow{BD}\)

\(\iff \overrightarrow{CB}= \overrightarrow{CD}+ \overrightarrow{DB}\)

\(\iff \overrightarrow{CB}= \overrightarrow{CB}\)(luôn đúng)

Vậy đẳng thức đã cho đúng.

Bài 5. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F tùy ý. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{ED}.\)

Bài giải.

Ta có:

 \(\overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{ED}\\ \iff (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AF})+(\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{ED})=\overrightarrow{0}\)

\(\iff \overrightarrow{FC}+ \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{0} \\ \iff \overrightarrow{FD}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{0} \\ \iff \overrightarrow{FF}=\overrightarrow{0}\)

(luôn  đúng)

Vậy đẳng thức đã cho đúng.

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Chứng minh: 

a)\(\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\)

b) \(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BA}=​​\overrightarrow{0}.\)

Bài giải.

a) 

\(\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\\ \iff \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\)

(luôn đúng vì ABCD là hình bình hành)

Vậy đẳng thức đã cho đúng.

b) 

\(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BA}=​​\overrightarrow{0}\\ \iff \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}\\ \iff \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}\)

(luôn đúng)

Vậy đẳng thức đã cho đúng.

Có thể bạn quan tâm: 

Bài tập trắc nghiệm và tự luận bài mệnh đề tập hợp lớp 10 Nguyễn Đắc Tuấn

Bài tập đại số lớp 10 chủ đề Mệnh đề và tập hợp lớp 10 cơ bản và nâng cao

Bài tập đại số 10 chương 1 bài mệnh đề tập hợp Nguyễn Đắc Tuấn

Bài tập luyện tập.

Bài 7. Cho hình bình hành ABCD tâm O, M là điểm tùy ý. Chứng minh:

a)\(\overrightarrow{AB}+​​\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}\)

b) \(\overrightarrow{MA}+​​\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}.\)

Bài 8. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: 

a) \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{0}\)

b) \(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}.\)

Bài 9. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\)

b) \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{DB}\)

c) \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}\)

d) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}\)

e) \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+​​\overrightarrow{CD}\)

f) \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{CE}+​​\overrightarrow{CB}=​​​​\overrightarrow{AB}\)

Bài 10. Cho tam giác ABC có trọng tâm G, các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh: \(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{0}.\)

Bài 11. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng: 

a) \(\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}\)

b) \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DB}\)

c) \(\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}\)

d) \(\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\)

Bài 12. Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh: \(\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}\)

Bài 13. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Chứng minh rằng: với điểm O bất kì, ta có: \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}.\)

Bài 14. Cho tam giác ABC. Gọi A' là điểm đối xứng của B qua A, B' là điểm đối xứng với C qua B, C' là điểm đối xứng với A qua C. Với một điểm O bất kỳ, chứng minh rằng:

\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{OC'}.\)

Bài 15. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, trực tâm H, vẽ đường kính AD.

a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HD}\)

b) Gọi H' đối xứng với H qua O. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HH'}\)

Bài 16. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\iff \) trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Bài 17. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Đặt \(\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{a};\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{b}.\)

Tính \(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CD};\overrightarrow{DA}\) theo \(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}.\)

Bài 18. Cho tam giác ABC. Xác định điểm M sao cho \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}.\)

Bài 19. Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a, AC =2a. Tính độ dài của các vec tơ: 

a) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC};\)

b) \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.\)

Bài 20. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính độ dài của các vec tơ:

a) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC};\)

b) \(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}.\)

Bài 21. Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = a và \(\widehat{B}=60^0.\) Tính độ dài của các vec tơ:

a) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC};\)

b) \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.\)

Bài 22. Cho tam giác đều ABC cạnh a và đường cao AH. Tính độ dài của các vec tơ:

a) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC};\)

b) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BH};\)

c) \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.\)

Bài 23. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính độ dài của các vec tơ:

a) \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB};\)

b) \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.\)

Bài 24. Cho hình thoi ABCD có \(\widehat{BAD}=60^0\)và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Tính độ dài của các vec tơ:

a) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD};\)

b) \(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC};\)

c) \(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{DC}.\)

Bài 25. Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm hai đường chéo. Tính độ dài các vec tơ:

a) \(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB};\)

b) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC};\)

c) \(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}.\)

Bài 26. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. 

a) Với M tùy ý, chứng minh: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\)

b) Chứng minh rằng: \(|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|\)

Bài 27. Cho hai vec tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng khác \(\overrightarrow{0}.\) Khi nào thì:

a) \(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|\)

b) \(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}|\)

c) \(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}|\)

Bài 28. Tìm tính chất của tam giác ABC, biết rằng: \(|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}|\)

                                               ---Hết---