Phương trình lượng giác có lời giải chi tiết ôn thi THPT quốc gia 2018 do thầy Nguyễn Đắc Tuấn biên soạn.

Bài 1. Giải phương trình: \(\cos^22x-\cos^28x=\sin^2(\frac{\pi}{2}+10x)\ \ (1)\)

Bài giải.

(1) \(\iff \frac{1-\cos4x}{2}-\frac{1+\cos{16x}}{2}=\sin[\frac{\pi}{2}-(-10x)]\)

\(\iff \frac{1-\cos4x}{2}-\frac{1+\cos{16x}}{2}=\cos(-10x)\)

\(\iff \frac{1-\cos4x}{2}-\frac{1+\cos{16x}}{2}=\cos10x\)

\(\iff \frac{1-\cos4x}{2}-\frac{1+\cos{16x}}{2}=\cos10x\)

\(\iff 2\cos10x+(\cos16x+\cos4x)=0\)

\(\iff 2\cos10x+2.\cos10x.\cos6x=0=0\)

\(\iff 2\cos10x(1+\cos6x)=0\)

\(\iff \cos10x=0\) hoặc \(\cos6x=-1\)

\(\iff 10x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) hoặc \(6x=\pi+k2\pi\)

\(\iff x=\frac{\pi}{20}+k\frac{\pi}{10}\)hoặc \(x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3},k\in \mathbb{Z}.\)

Bài 2. Giải phương trình: \(\cos^4x+\sin^6x=\cos2x\ \ \ (2)\)

Bài giải. 

Cách 1. 

Ta có: (2) \(\iff \cos^4x+\sin^6x=1-2\sin^2x\)

\(\iff (1-\cos^4x)-2\sin^2x-\sin^6x=0\)

\(\iff (1-\cos^2x)(1+\cos^2x)-2\sin^2x-\sin^6x=0\)

\(\iff \sin^2x(1+\cos^2x)-2\sin^2x-\sin^6x=0\)

\(\iff \sin^2x(1+\cos^2x-2-\sin^4x)=0\)

\(\iff \sin^2x(\cos^2x-1-\sin^4x)=0\)

\(\iff \sin^2x(-\sin^2x-\sin^4x)=0\)

\(\iff \sin^4x(1+\sin^2x)=0\)

\(\iff \sin{x}=0\) (vì \(\sin^2x+1>0,\forall x \in \mathbb{R}\))

\(\iff x=k\pi,k\in \mathbb{Z}.\)

Cách 2. 

pt tương đương với:

\((\frac{1+\cos2x}{2})^2+(\frac{1-\cos2x}{2})^3=\cos2x\)

\(\iff \cos^32x-5\cos^22x+7\cos2x-3=0\)

\(\iff (\cos2x-1)^2(\cos2x-3)=0\)

\(\iff \cos2x=1\)hoặc \(\cos2x=3 (ptvn)\)

\(\iff 2x=k2\pi\iff x=k\pi,k\in \mathbb{Z}.\)

Bài tập luyện tập:

Bài 1. Giải phương trình: \(\frac{1-\cos4x}{2\sin2x}-\frac{\sin4x}{1+\cos4x}=0.\)

HD: Biến đổi và rút gọn từng phân thức. Sau đó quy đồng và giải.

Bài 2. Giải phương trình: \(\sin{x}.\cos{x}+\cos^2x=\frac{\sqrt{2}+1}{2}.\)

HD: chia 2 vế cho \(\cos^2x.\)

Bài 3. Giải phương trình: \(\frac{(2-\sqrt{3}).\cos{x}-2\sin^2(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})}{2\cos{x}-1}=1.\)

HD: Hạ bậc nâng cung.

Bài 4. Giải phương trình: \(\sin4x+3\sin2x=\tan{x}.\)

HD: đặt t = tanx.

Bài 5. Giải phương trình: \(4\cos^3x+3\sqrt{2}\sin2x=8\cos{x}.\)

Chia hai vế cho \(\cos^3x\)

Bài 6. Giải phương trình: \(6\sin^23x+12\cos12x=14.\)

HD: Hạ bậc rồi dùng công thức nhân đôi để đưa về phương trình bậc hai theo cos6x.

Bài 7. Giải phương trình: \(\sqrt{3}.\tan{x}+\cot{x}=1+\sqrt{3}.\)

HD: Đặt t =tanx.

Bài 8. Giải phương trình: \(\tan{x}-\sqrt{3}.\cot{x}+1=\sqrt{3}.\)

HD: Đặt t =tanx.

Bài 9. Giải phương trình: \(\frac{1}{\sin^2x.\cos^2x}+\frac{1}{\sin{x}.\cos{x}}=4.\)

Hướng dẫn: Đặt t = sin2x.