Phương trình lượng giác lớp có lời giải chi tiết dành cho lớp 11 và lớp 12 ôn thi THPT quốc gia

Trong bài viết này page giới thiệu với các bạn đọc một số phương trình lượng giác lớp 11 có lời giải kèm theo.

Trước tiên nhắc lại cách giải phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx dạng: \(a\sin{x}+b\cos{x}=c\ \ (1) \ (a^2+b^2>0)\)

Cách giải. 

Điều kiện pt có nghiệm là: \(a^2+b^2\geq c^2.\)(hay phương trình vô nghiệm khi \(a^2+b^2< c^2.\)

Chia hai vế của (1) cho \(\sqrt{a^2+b^2}>0,\)ta có:

(1) tương đương với: \(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}.\sin{x}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}.\cos{x}=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\)(2)

Vì \((\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})^2+(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2=1\) nên có số \(\alpha\) sao cho:

\(\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

Khi đó: (2) trở thành: \(\sin(x+\alpha)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\)(Đây là phương trình cơ bản đã biết cách giải)

Một số bài tập minh họa:

Câu 1. Giải phương trình: \(\cos{7x}-\sqrt{3}.\sin{7x}=\sqrt{2}, x\in (\frac{2\pi}{5};\frac{6\pi}{7})\ \ (1)\)

Bài giải.

(1) \(\iff \frac{1}{2}\cos{7x}-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{7x}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\iff \cos\frac{\pi}{3}.\cos{7x}-\sin{\frac{\pi}{3}}.\sin{7x}=\cos\frac{\pi}{4}\)

\(\iff \cos(7x+\frac{\pi}{3})=\cos\frac{\pi}{4}\)

\(\iff 7x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{4}+k2\pi\)hoặc \(7x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{4}+k2\pi\)

\(\iff x=-\frac{\pi}{84}+\frac{k2\pi}{7}\) hoặc \(x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k2\pi}{7},k\in \mathbb{Z}.\)

Vì \(x\in(\frac{2\pi}{5};\frac{6\pi}{7})\)nên ta có bốn nghiệm x thỏa là: \(x=\frac{41\pi}{84};x=\frac{89\pi}{84};x=\frac{71\pi}{84};x=\frac{41\pi}{84}.\)

Câu 2. Giải phương trình: \((\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2})^2+\sqrt{3}.\cos{x}=2\ \ \ (2)\)

Bài giải. 

(2) \(\iff \sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}+2\sin{\frac{x}{2}}.\cos{\frac{x}{2}}+\sqrt{3}.\cos{x}=2\)

\(\iff 1+\sin{x}+\sqrt{3}.\cos{x}=2\)

\(\iff \sin{x}+\sqrt{3}.\cos{x}=1\)

\(\iff \frac{1}{2}\sin{x}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\cos{x}=\frac{1}{2}\)

\(\iff \sin{\frac{\pi}{6}}\sin{x}+\cos\frac{\pi}{6}.\cos{x}=\cos\frac{\pi}{3}\)

\(\iff \cos(x-\frac{\pi}{6})=\cos\frac{\pi}{3}\)

\(\iff x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}+k2\pi\) hoặc \(x-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{3}+k2\pi\)

\(\iff x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\) hoặc \(x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi,k\in \mathbb{Z}.\)

Câu 3. Giải phương trình: \(\tan{x}-\sin{2x}-\cos{2x}+2(2\cos{x}-\frac{1}{\cos{x}})=0\ \ (3)\)

Bài giải. 

Điều kiện: \(\cos{x}\neq 0\)

(3) \(\iff \frac{\sin{x}}{\cos{x}}-2\sin{x}.\cos{x}-\cos{2x}+2(2\cos{x}-\frac{1}{\cos{x}})=0\)

\(\iff \sin{x}.(\frac{1}{\cos{x}}-2\cos{x})-\cos{2x}+2(2\cos{x}-\frac{1}{\cos{x}})=0\)

\(\iff (2-\sin{x}).(2\cos{x}-\frac{1}{\cos{x}})-\cos{2x}=0\)

\(\iff (2-\sin{x}).\frac{2\cos^2x-1}{\cos{x}}-\cos{2x}=0\)

\(\iff (2-\sin{x}).\cos{2x}-\cos{2x}.\cos{x}=0\)

\(\iff \cos{2x}(2-\sin{x}-\cos{x})=0\)

\(\iff \cos{2x}=0\) hoặc \(2-\sin{x}-\cos{x}=0\) (ptvn)

\(\iff 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\iff x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},k\in \mathbb{Z}.\)

So điều kiện, ta có nghiệm của phương trình (3) là: \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},k\in \mathbb{Z}.\)

Câu 4. Giải phương trình: \(\frac{(1-2\sin{x}).\cos{x}}{(1+2\sin{x})(1-\sin{x}) }=\sqrt{3}\ \ (4)\)

Bài giải.

Điều kiện: \(\sin{x}\neq1; \sin{x}\neq -\frac{1}{2}.\)

\((4)\iff \cos{x}-2\sin{x}.\cos{x}=\sqrt{3}.(1-\sin{x}+2\sin{x}-2\sin^2{x})\)

\(\iff \cos{x}-\sin{2x}=\sqrt{3}(\sin{x}+\cos{2x})\)

\(\iff \sqrt{3}.\cos{2x}+\sin{2x}= \cos{x}-\sqrt{3}.\sin{x}\)

\(\iff \frac{\sqrt{3}}{2}.\cos{2x}+\frac{1}{2}\sin{2x}= \frac{1}{2}\cos{x}- \frac{\sqrt{3}}{2}.\sin{x}\)

\(\iff \cos{\frac{\pi}{6}}.\cos{2x}+\sin{\frac{\pi}{6}}.\sin{2x}=\cos{\frac{\pi}{3}.\cos{x}-\sin{\frac{\pi}{6}}.\sin{x}}\)

\(\iff \cos(2x-\frac{\pi}{6})=\cos(x+\frac{\pi}{3})\)

\(\iff 2x-\frac{\pi}{6}=x+\frac{\pi}{3}+k2\pi\) hoặc \(2x-\frac{\pi}{6}=-x-\frac{\pi}{3}+k2\pi\)

\(\iff x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \)hoặc \( x=-\frac{\pi}{18}+\frac{k2\pi}{3},k\in \mathbb{Z}.\)

So điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là: \( x=-\frac{\pi}{18}+\frac{k2\pi}{3},k\in \mathbb{Z}.\)

Bài tập luyện tập:

Câu 5. Giải phương trình: \(\sin{x}+\cos{x}.\sin{2x}+\sqrt{3}.\cos{3x}=2(\cos{4x}+\sin^3{x}).\)

Hướng dẫn: Phương trình tương đương với: \(\sin{3x}+\sqrt{3}.\cos{3x}=2\cos{4x}\)tới đây chia hai vế cho 2 đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

Câu 6. Giải phương trình: \(3\sin{3x}-\sqrt{3}.\cos{9x}=1+4\sin{3x}.\)

Hướng dẫn: phương trình tương đương với: \((3\sin3x-4\sin^33x)-\sqrt{3}.\cos{9x}=1\)

\(\iff \sin9x-\sqrt{3}.\cos{9x}=1\)Ngang đây bạn đọc giải tiếp nhé.

Câu 7. Giải phương trình: \(\sqrt{3}.\cos{5x}-2\sin{3x}.\sin{2x}-\sin{x}=0.\)

Câu 8. Giải phương trình: \(9\sin{x}+6\cos{x}-3\sin2x+\cos2x=8.\)

Câu 9. Giải phương trình: \(\frac{\cos{x}-\sin{2x}}{2\cos^2x-\sin{x}-1}=\sqrt{3}.\)

Câu 10. Giải phương trình: \(4\sin^2\frac{x}{2}-\sqrt{3}.\cos2x=1+2\cos^2(x-\frac{3\pi}{4}).\)

Câu 11.  Giải phương trình: \(\cos^2x-\sqrt{3}.\sin2x=1+\sin^2x.\)

Câu 12.  Giải phương trình: \(3\cos^4x-4\sin^2x.\cos^2x+\sin^4x=0.\)

Câu 13.  Giải phương trình: \(\sin2x+2\tan{x}=3.\)

Câu 14.  Giải phương trình: \(\sqrt{2}(\sin{x}+\cos{x})-\sin{x}.\cos{x}=1.\)

Câu 15.  Giải phương trình: \((1-\sin{x}.\cos{x})(\sin{x}+\cos{x})=\frac{\sqrt{2}}{2}.\)