Hướng dẫn giải các câu vận dụng cao từ đề thi thử các trường ôn thi TN THPT năm 2023 môn Toán Trần Minh Quang

Xem chi tiết dưới đây 

Câu 44. Xét các số thực dương $x, y$ thỏa mãn $\frac{1}{2} \log _2 \frac{x}{4}+\log _2 y=\frac{4-x y^2}{y^2}$. Khi $x+4 y$ đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của $\frac{x}{y}$ bằng
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\frac{1}{2}$.
C. $\sqrt{2}$.
D. 2 .
Lò̀i giải
Đầu tiên ta biến đổi phương trình sau: $\frac{1}{2} \log _2 \frac{x}{4}+\log _2 y=\frac{4-x y^2}{y^2} \Leftrightarrow \log _2 \frac{x}{4}+2 \log _2 y=\frac{8-2 x y^2}{y^2}$
$$
\Leftrightarrow\left(\log _2 x-2\right)+\log _2 y^2=\frac{8}{y^2}-2 x \Leftrightarrow \log _2 x+2 x=\frac{8}{y^2}+2-\log _2 y^2 \Leftrightarrow \log _2 x+2 x=\log _2\left(\frac{4}{y^2}\right)+2\left(\frac{4}{y^2}\right)
$$
Xét hàm số $y=f(t)=\log _2 t+2 t$ trên $(0 ;+\infty)$ có $f^{\prime}(t)=\frac{1}{t \ln 2}+2>0, \forall t \in(0 ;+\infty)$.
Khi đó ta suy ra hàm $f(t)$ luôn đồng biến trên $(0 ;+\infty)$ tức $2 x=\frac{4}{y^2}$
Suy ra: $T=x+4 y=4 y+\frac{2}{y^2}=2 y+2 y+\frac{2}{y^2} \geq 3 \sqrt[3]{2 y \cdot 2 y \cdot \frac{2}{y^2}}=6$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2 y=\frac{2}{v^2} \Leftrightarrow y=1 \Rightarrow x=2 \Rightarrow \frac{x}{v}=2$. Chọn đáp án D.