Phương trình lượng giác có lời giải chi tiết ôn thi THPT quốc gia. Trong bài này giới thiệu với quý bạn đọc và quý thầy cô dạng phương trình lượng giác đối xứng với sinx và cosx.
Phương trình đối xứng với sinx và cosx có dạng tổng quát:
\(a(\sin x+\cos{x})+b\sin x.\cos{x}+c=0\ \ (1)\)
Cách giải.
Đặt \(t=\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\)
Suy ra: \(t^2=1+2\sin{x}.\cos{x}\Rightarrow \sin{x}.\cos{x}=\frac{t^2-1}{2}\)
Khi đó phương trình (1) trở thành: \(at+b.\frac{t^2-1}{2}+c=0\)
\(\iff bt^2+2at+2c-b=0\ \ (2)\)
Giải phương trình (2) này ta tìm được giá trị t. Chú ý điều kiện của t là: \(t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}].\)
Sau đó ta giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})=t\) để suy ra \(x.\)
Một số ví dụ minh họa cho dạng này và bài tập luyện tập:
Bài 1. Giải phương trình sau: \(\sin{x}+\cos{x}+\sin{x}.\cos{x}=1\ \ \ (1)\)
Bài giải.
Đặt \(t=\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\)
Suy ra: \(t^2=1+2\sin{x}.\cos{x}\Rightarrow \sin{x}.\cos{x}=\frac{t^2-1}{2}\)
Khi đó phương trình (1) trở thành: \(t+\frac{t^2-1}{2}=1\iff t^2+2t-3=0\iff t=1 \ (thỏa)\) hoặc \(t=-3\ (loại)\)
Với \(t=1,\)ta có: \(\sin(x+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin\frac{\pi}{4}\)
\(\iff x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+k2\pi\) hoặc \( x+\frac{\pi}{4}=\pi-\frac{\pi}{4}+k2\pi\)
\(\iff x=k2\pi\) hoặc \( x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\) \((k\in \mathbb{Z}).\)
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: \(x=k2\pi; x=\frac{\pi}{2}+k2\pi(k\in \mathbb{Z}).\)
Lưu ý: Nếu các bạn gặp phương trình dạng sau: \(a(\sin x-\cos{x})+b\sin x.\cos{x}+c=0\ \ (2)\)
(hoặc \(a(\sin x-\cos{x})+b\sin2x+c=0\ \ (3)\))
thì ta đặt \(t=\sin{x}-\cos{x}=\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{4})\) và giải tương tự như trên nhé.
Một số bài tập tương tự luyện tập:
Bài 2. Giải phương trình sau: \(5\sin2x+\sin{x}+\cos{x}+6=0.\)
Bài 3. Giải phương trình sau: \(3(\sin{x}+\cos{x})+2\sin{x}\cos{x}+3=0.\)
Bài 4. Giải phương trình sau: \(2\sin2x-4(\sin{x}+\cos{x})+3=0.\)
Bài 5. Giải phương trình sau: \((1+\sqrt{2})(\sin{x}+\cos{x})-2\sin{x}.\cos{x}-(1+\sqrt{2})=0.\)
Bài 6. Giải phương trình sau: \(\cos{x}-\sin{x}-\sin{x}.\cos{x}+1=0.\)
Bài 7. Giải phương trình sau: \(6(\cos{x}-\sin{x})+\sin{x}.\cos{x}+6=0.\)
Bài 8. Giải phương trình sau: \(1+\sin2x=\sin{x}-\cos{x}.\)
TẢI ĐỀ CÁC BÀI TẬP NÀY VỀ TẠI ĐÂY: TẢI VỀ NGAY
Xem thêm các bài viết khác:
1. Đề thi THPT quốc gia môn Toán năm 2017 chính thức của Bộ gồm 24 mã đề 101 đến 124
2. Casio giải nhanh toán trắc nghiệm thi THPT quốc gia năm 2018
3. Bài tập hàm số lượng giác và phương trình lượng giác lớp 11
4. Bài tập đồng biến và nghịch biến của hàm số lớp 12 - Nguyễn Đắc Tuấn
5. Phương pháp giải nhanh trắc nghiệm toán THPT Quốc gia
6. Bài tập cực trị của hàm số lớp 12 trắc nghiệm Nguyễn Đắc Tuấn
7. Bài tập trắc nghiệm chương khảo sát hàm số lớp 12
8. Bài tập giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lớp 12 Nguyễn Đắc Tuấn
9. Về Trang chủ: TRANG CHỦ DAYHOCTOAN.VN
TẢI ĐỀ CÁC BÀI TẬP NÀY VỀ TẠI ĐÂY: TẢI VỀ NGAY