Một số bài tập thể tích khối đa diện có lời giải chi tiết ôn thi THPT quốc gia
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và thể tích của khối chóp S.ABCD bằng \(a^3.\)Trên cạnh SC lấy điểm M sao cho \(SM=2MC.\)Tính thể tích của khối tứ diện SMBD.
A. \(\frac{a^3}{12}.\)
B. \(\frac{2a^3}{12}.\)
C. \(\frac{a^3}{6}.\)
D. \(\frac{a^3}{3}.\)
Bài giải:
Hình vẽ:
Ta có: \(\frac{V_{S.MBD}}{V_{S.CBD}}=\frac{SM}{SC}.\frac{SB}{SB}.\frac{SD}{SD}=\frac{2}{3}.\)
Suy ra: \(V_{S.MBD}=\frac{2}{3}.V_{S.CBD}=\frac{2}{3}.\frac{1}{3}.d(S,(BCD).S_{BCD}\)
\(=\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.d(S,(BCD).S_{ABCD}=\frac{1}{3}V_{S.ABCD}=\frac{a^3}{3}. \)
Chọn đáp án D.
Câu 2. Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a . Thể tích khối chóp ACB’D’ bằng:
A. \(\frac{a^3\sqrt{3}}{4}.\)
B. \(\frac{a^3}{3}.\)
C. \(\frac{a^3\sqrt{2}}{12}.\)
D. \(\frac{a^3}{6}.\)
Bài giải.
Hình vẽ:
Ta có: \(V_{ACB'D'}=V_{ABCD.A'B'C'D'}-4.V_{B'.BAC}=a^3-4.\frac{1}{3}.BB'.S_{ABC}=a^3-\frac{4}{3}a.\frac{1}{2}a^2=\frac{a^3}{3}.\)
Chọn đáp án B.
Câu 3. (Đề minh họa lần 3 của Bộ giáo dục năm 2017) Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a.
A. \(V=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}.\)
B. \(V=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}.\)
C. \(V=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}.\)
D. \(V=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}.\)
Bài giải.
Hình vẽ:
Ta có: \(AA'\perp(ABC).\)
Diện tích của tam giác ABC: \(S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\)
Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' là: \(V_{ABC.A'B'C'}=AA'.S_{ABC}=a.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}.\)
Chọn đáp án D.
Câu 4. Cho hình chóp đều S.ABCD có \(AC=2a,\) mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) một góc \(45^0.\) . Thể tích khối chóp S.ABCD là :
A. \(V=\frac{4a^3}{3}.\)
B. \(V=a^3\sqrt{2}.\)
C. \(V=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}.\)
D. \(V=\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}.\)
Bài giải.
Hình vẽ:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có: SO vuông góc với (ABCD).
Tam giác ABC vuông cân tại B nên \(AC^2=AB^2+BC^2\Leftrightarrow4a^2=2.AB^2\Leftrightarrow AB=a\sqrt{2}.\)
\((SBC)\cap(ABCD)=BC.\) Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có: \(\begin{cases} BC\perp SO & \quad \\ BC\perp OM & \quad\\ \end{cases}\Rightarrow BC\perp (SOM) \Rightarrow BC\perp SM.\)
Suy ra: \((\widehat{(SBC),(ABCD)})=(\widehat{SM,OM})=\widehat{SMO}=45^0.\)
Ta lại có: \(OM=\frac{1}{2}AB=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\)
Tam giác SOM vuông cân tại O nên: \(SO=OM=\frac{a\sqrt{2}}{2};S_{ABCD}=(a\sqrt{2})^2=2a^2.\)
Thể tích của khối chóp S.ABCD là: \(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}.2a^2=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}.\)
Chọn đáp án C.
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,\(AB=2a,BC=a\) . Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng \(a\sqrt{2}\) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. K là điểm trên cạnh AD sao cho KD=2KA. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK.
A. \(\frac{a\sqrt{21}}{7}\)
B.\(\frac{a\sqrt{3}}{7}\)
C.\(\frac{a\sqrt{2}}{3}\)
D. \(\frac{3a}{2}\)
Hình vẽ:
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có: \(\begin{cases} SO\perp AC & \quad \\ SO\perp BD & \quad \\ \end{cases}\Rightarrow SO \perp (ABCD)\)
MN // AD \(\Rightarrow MN // (SAD) \ (SK \subset(SAD))\)
Suy ra: \(d(MN,SK)=d(MN,(SAD))=d(O,(SAD))\)
Gọi H là trung điểm của AD. Ta có: \(\begin{cases} OH\perp AD & \quad \\ AD\perp SO & \quad \\ \end{cases}\Rightarrow AD \perp (SOH)\Rightarrow (SAD) \perp (SOH)\) theo giao tuyến SH.
Trong (SOH), kẻ OT vuông góc với SH, ta có: OK vuông góc với (SAD). Nên \(d(O,(SAD))=OT\)
\(OH=\frac{1}{2}AB=a;AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{5}.\)
\(AO=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{5}}{2};\)
\(SO=\sqrt{SA^2-AO^2}=\sqrt{2a^2-\frac{5a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{1}{OT^2}=\frac{1}{SO^2}+\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{(\frac{3a^2}{4})^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{7}{3a^2}.\)
Suy ra: \(OT=\frac{a\sqrt{21}}{7}.\) Vậy \(d(MN,SK)=\frac{a\sqrt{21}}{7}.\)
Chọn đáp án A.
TẢI VỀ ĐỀ CÁC CÂU NÀY TẠI ĐÂY: TẢI VỀ NGAY
Xem thêm các bài viết khác:
1. Đề thi THPT quốc gia môn Toán năm 2017 chính thức của Bộ gồm 24 mã đề 101 đến 124
2. Casio giải nhanh toán trắc nghiệm thi THPT quốc gia năm 2018
3. Bài tập hàm số lượng giác và phương trình lượng giác lớp 11
4. Bài tập đồng biến và nghịch biến của hàm số lớp 12 - Nguyễn Đắc Tuấn
5. Phương pháp giải nhanh trắc nghiệm toán THPT Quốc gia
6. Bài tập cực trị của hàm số lớp 12 trắc nghiệm Nguyễn Đắc Tuấn
7. Bài tập trắc nghiệm chương khảo sát hàm số lớp 12
8. Bài tập giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lớp 12 Nguyễn Đắc Tuấn
9. Về Trang chủ: TRANG CHỦ DAYHOCTOAN.VN