Chuyên đề khoảng cách lớp 11 

I. KIẾN THỨC TRONG TÂM:
Nếu hình chóp $S . A B C$ có $S A \perp(A B C)$ thì
$\frac{1}{d^{2}(A ;(S B C))}=\frac{1}{S A^{2}}+\frac{1}{d^{2}(A ; B C)}$ hay $d(A ;(S B C))=\frac{S A . d(A ; B C)}{\sqrt{S A^{2}+d^{2}(A ; B C)}}$

Chứng minh:
Trong tam giác $A B C$, dựng đường cao $A K$
Trong tam giác $S A K$, dựng đường cao $A H$
Khi đó
$\left\{\begin{array}{l}B C \perp S A \\ B C \perp A K\end{array} \Rightarrow B C \perp(S A K) \Rightarrow B C \perp A H\right.$
$\Rightarrow A H \perp(S B C) \Rightarrow d(A ;(S B C))=A H$
Trong tam giác vuông $S A K$ có $\frac{1}{A H^{2}}=\frac{1}{S A^{2}}+\frac{1}{A K^{2}} \Rightarrow \frac{1}{d^{2}(A ;(S B C))}=\frac{1}{S A^{2}}+\frac{1}{d^{2}(A ; B C)}$
Đặc biệt: Nếu hình chóp $S \cdot A B C$ có $S A \perp(A B C)$ và $A B \perp A C(A$ là đỉnh của tam diện vuông) thì $\frac{1}{d^{2}(A ;(S B C))}=\frac{1}{A S^{2}}+\frac{1}{A B^{2}}+\frac{1}{A C^{2}}$

Bình luận:
+) Sử dụng công thức khoảng cách phía trên giúp chúng ta không phải suy nghĩ dựng hình chiếu của điểm lên mặt phẳng.
+) Khi gặp một bài toán tính khoảng cách mà xuất hiện chân đường vuông góc thì ta sẽ xử lí để đưa về bài toán tính khoảng cách từ chân đường vuông góc đó tới mặt phẳng cần tính.

II. VÍ DU MINH HOA:
Ví dụ 1: Cho hình chóp $S \cdot A B O$ có đáy là tam giác vuông đinh $B$, $A B=a, S A$ vuông góc với mặt
phẳng đáy và $S A=2 a$. Khoảng cách tù $A$ đến mặt phẳng $(S B C)$ bằng
A. $\frac{2 \sqrt{5} a}{5}$
B. $\frac{\sqrt{5} a}{3}$
C. $\frac{2 \sqrt{2} a}{3}$
D. $\frac{\sqrt{5} a}{5}$

Lời giải
Chọn $\mathrm{A}$
Ta có
$\begin{aligned} d(A ;(S B C)) &=\frac{S A \cdot d(A ; B C)}{\sqrt{S A^{2}+d^{2}(A ; B C)}} \\=& \frac{S A \cdot A B}{\sqrt{S A^{2}+A B^{2}}}=\frac{a \cdot 2 a}{\sqrt{a^{2}+4 a^{2}}}=\frac{2 a \sqrt{5}}{5} \end{aligned}$

Ví dụ 2: Cho hình chóp $S . A B C D$ có $S A \perp(A B C D)$, đáy $A B C D$ là hình chữ nhật. Biết $A \mathrm{D}=2 \mathrm{a}$, $S A=a$. Khoảng cách từ $B$ đến $(S C D)$ bằng:
A. $\frac{3 \mathrm{a}}{\sqrt{7}}$
B. $\frac{3 \mathrm{a} \sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{2 \mathrm{a} \sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{2 \mathrm{a} \sqrt{3}}{3}$