Công thức lượng giác lớp 10 môn Toán chương 6 đầy đủ 

Xem ở đây

1. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt:

1. Các công thức lượng giác cơ bản:

${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1.$

$1+{{\tan }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha },\,\,\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}.$

$1+{{\cot }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha },\,\,\alpha \ne k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}.$

$\tan \alpha .\cot \alpha =1,\,\,\alpha \ne k\frac{\pi }{2},\,\,k\in \mathbb{Z}.$

1. Các công thức liên hệ giữa các cung có liên quan đặc biệt:

   1. Cung đối nhau:

$\cos \left( -\alpha  \right)=\cos \alpha $;  $\sin \left( -\alpha  \right)=-\sin \alpha $;  $\tan \left( -\alpha  \right)=-\tan \alpha $;  $\cot \left( -\alpha  \right)=-\cot \alpha .$

1. Cung bù nhau:

$\cos \left( \pi -\alpha  \right)=-\cos \alpha $;  $\sin \left( \pi -\alpha  \right)=\sin \alpha $;  $\tan \left( \pi -\alpha  \right)=-\tan \alpha $;  $\cot \left( \pi -\alpha  \right)=-\cot \alpha .$

1. Cung phụ nhau:

$\cos \left( \frac{\pi }{2}-\alpha  \right)=\sin \alpha $;   $\sin \left( \frac{\pi }{2}-\alpha  \right)=\cos \alpha $;   $\tan \left( \frac{\pi }{2}-\alpha  \right)=\cot \alpha $;   $\cot \left( \frac{\pi }{2}-\alpha  \right)=\tan \alpha .$

1. Cung hơn kém $\pi $:

$\cos \left( \alpha +\pi  \right)=-\cos \alpha $;  $\sin \left( \alpha +\pi  \right)=-\sin \alpha $;  $\tan \left( \alpha +\pi  \right)=\tan \alpha $;  $\cot \left( \alpha +\pi  \right)=\cot \alpha .$

1. Cung hơn kém $\frac{\pi }{2}$:

$\cos \left( \alpha +\frac{\pi }{2} \right)=-\sin \alpha $;   $\sin \left( \alpha +\frac{\pi }{2} \right)=\cos \alpha $;

$\tan \left( \alpha +\frac{\pi }{2} \right)=-\cot \alpha $;    $\cot \left( \alpha +\frac{\pi }{2} \right)=-\tan \alpha .$

1. Công thức cộng:

$\sin \left( a+b \right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$;    $\sin \left( a-b \right)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$;

$\cos \left( a+b \right)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$;    $\cos \left( a-b \right)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$;

$\tan \left( a+b \right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a.\tan b}$;                

$\tan \left( a-b \right)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a.\tan b}.$

1. Công thức nhân đôi, nhân ba:

$\sin 2a=2\sin a.\cos a$

$\cos 2a={{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}a=2{{\cos }^{2}}a-1=1-2{{\sin }^{2}}a$

$\tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{{\tan }^{2}}a}.$

Ta cũng có:

$\sin 2a=\frac{2\tan a}{1+{{\tan }^{2}}a}$;    $\cos 2a=\frac{1-{{\tan }^{2}}a}{1+{{\tan }^{2}}a}.$

$\sin 3a=3\sin a-4{{\sin }^{3}}a;\cos 3a=4{{\cos }^{3}}a-3\cos a.$

1. Công thức hạ bậc:

${{\cos }^{2}}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$;    ${{\sin }^{2}}a=\frac{1-\cos 2a}{2}$;    ${{\tan }^{2}}a=\frac{1-\cos 2a}{1+\cos 2a}.$

1. Công thức biến đổi tích thành tổng:

$\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[ \cos \left( a-b \right)+\cos \left( a+b \right) \right]$

$\sin a\sin b=\frac{1}{2}\left[ \cos \left( a-b \right)-\cos \left( a+b \right) \right]$

$\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[ \sin \left( a-b \right)+\sin \left( a+b \right) \right].$

1. Công thức biến đổi tổng thành tích:

$\cos u+\cos v=2\cos \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2}$;    $\cos u-\cos v=-2\sin \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2}$;

$\sin u+\sin v=2\sin \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2}$;      $\sin u-\sin v=2\cos \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2}.$

1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1. Phương trình cơ bản và phương trình đặc biệt:

   1. Dạng cơ bản:

$\sin u=\sin v\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & u=v+k2\pi  \\  & u=\pi -v+k2\pi  \\ \end{align} \right.\,\,,\,k\in \mathbb{Z}$

$\cos u=\cos v\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & u=v+k2\pi  \\  & u=-v+k2\pi  \\ \end{align} \right.\,\,,\,k\in \mathbb{Z}$

$\tan u=\tan v\Leftrightarrow u=v+k\pi \,\,,\,k\in \mathbb{Z}\,\,\,\,\left( v\ne \frac{\pi }{2}+k\pi  \right)$

$\cot u=\cot v\Leftrightarrow u=v+k\pi \,\,,\,k\in \mathbb{Z}\,\,\,\,\left( v\ne k\pi  \right)$

1. Các dạng đặc biệt:

$\sin u=0\Leftrightarrow u=k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$;                   $\sin u=1\Leftrightarrow u=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$

$\sin u=-1\Leftrightarrow u=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$;    

$\cos u=0\Leftrightarrow u=\frac{\pi }{2}+k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$

$\cos u=1\Leftrightarrow u=k2\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$;                

$\cos u=-1\Leftrightarrow u=\pi +k2\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$

1. Phương trình bậc nhất đối với $\sin u$ và $\cos u$:

   1. Là phương trình có dạng: $a\sin u+b\cos u=c$ (1) với $a\ne 0$ và $b\ne 0.$

   2. Điều kiện có nghiệm: (1) có nghiệm $\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}.$

   3. Cách giải: Chia hai vế cho$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$, sau đó dùng công thức cộng để đưa về phương trình cơ bản.

2. Phương trình dạng $a{{\sin }^{2}}u+b\sin u\cos u+c{{\cos }^{2}}u=d$

Cách giải 1:

• Xét $\cos u=0$ có thỏa phương trình không.

• Khi $\cos u\ne 0$: Chia hai vế phương trình cho ${{\cos }^{2}}u$ ta đưa về dạng phương trình bậc hai (hoặc bậc nhất) đối với $\tan u.$