Bài tập nguyên hàm lớp 12 có hướng dẫn giải chi tiết vận dụng cao

BÀI TẬP:

Cho $\int\limits {{\left({\dfrac{ax+b+ce^x\sqrt{{x^2+1}}}{\sqrt{{x^2+1}}}}\right)dx=9\sqrt{{x^2+1}}+2\ln \left({x+\sqrt{{x^2+1}}}\right)+5e^x+C.}}$ Tính giá trị $M=a+b+c?$

A.$6.$

B.$20.$

C.$16.$

D.$10.$

Hướng dẫn giải chi tiết: 

Giả sử $F\left(x\right)=9\sqrt{{x^2+1}}+2\ln \left({x+\sqrt{{x^2+1}}}\right)+5e^x+C$

Ta có: $F'\left(x\right)=\dfrac{ax+b+ce^x\sqrt{{x^2+1}}}{\sqrt{{x^2+1}}}$

Mà $F'(x)=\dfrac{9x}{\sqrt{{x^2+1}}}+2\dfrac{\left({1+\dfrac{x}{\sqrt{{x^2+1}}}}\right)}{x+\sqrt{{x^2+1}}}+5e^x$

$=\dfrac{9x}{\sqrt{{x^2+1}}}+\dfrac2{\sqrt{{x^2+1}}}+5e^x$

$=\dfrac{9x+2+5e^x\sqrt{{x^2+1}}}{\sqrt{{x^2+1}}}$

Suy ra: $a=9;b=2;c=5$ hay $M=a+b+c=9+2+5=16.$

CHỌN ĐÁP ÁN C.