Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian lớp 12 có hướng dẫn giải chi tiết

Cho $\vec{a}=(1;1;1),\vec{b}=(1;-1;3)$ và $\vec{c}=\left({x;y;z}\right).$ Biết $\vec{c}\perp \vec{a},\vec{c}\perp \vec{b},\vec{c}$ tạo với trục $Oz$ một góc tù và $\left|{\vec{c}}\right|=3.$ Tính $M=x+2y-z?$

A.$M=0.$

B. $M=\dfrac{\sqrt{6}}2.$

C. $M=\sqrt{6}.$

D.$M=\dfrac{\sqrt{6}}3.$

Hướng dẫn giải: 

Ta có: $\left[{\vec{a},\vec{b}}\right]=\left({4;-2;-2}\right)$

Theo giả thiết ta có: $\vec{c}=k.\left[{\vec{a},\vec{b}}\right]$ $=\left({4k;-2k;-2k}\right)$

Trục $Oz$ có VTCP $\vec{k}=\left({0;0;1}\right)$

$\cos \left({\vec{c},\vec{k}}\right)<0\Rightarrow \vec{c}.\vec{k}<0$ $\Leftrightarrow -2k<0\Leftrightarrow k>0$

$\left|{\vec{c}}\right|=3\Leftrightarrow \sqrt{{{\left({4k}\right)}^2+{\left({-2k}\right)}^2+{\left({-2k}\right)}^2}}=3$

$\Leftrightarrow 24k^2=9\Rightarrow k=\dfrac3{2\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{6}}4$

$M=x+2y-z$ $=4k+2.\left({-2k}\right)-\left({-2k}\right)$ $=2k=\dfrac{\sqrt{6}}2$

CHỌN ĐÁP ÁN B.