Bài tập nguyên hàm lớp 12 bằng đổi biến số có hướng dẫn giải chi tiết

Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\dfrac{\left({x^2+x}\right)e^x}{x+e^{-x}}$ là:

A.$F\left(x\right)=xe^x+1-\ln \left|{xe^x+1}\right|+C.$

B. $F\left(x\right)=xe^x+1-\ln \left|{xe^{-x}+1}\right|+C.$

C. $F\left(x\right)=e^x+1-\ln \left|{xe^x+1}\right|+C.$

D. $F\left(x\right)=xe^x+1+\ln \left|{xe^x+1}\right|+C.$

Hướng dẫn giải: 

HƯỚNG DẪN CHI TIẾT:

$F\left(x\right)=\displaystyle\int\limits {{f\left(x\right)dx}}$

$=\displaystyle\int\limits {{\dfrac{\left({x^2+x}\right)e^xdx}{x+e^{-x}}}}$ $=\displaystyle\int\limits {{\dfrac{xe^x\left({x+1}\right)e^xdx}{xe^x+1}}}$

Đặt $t=xe^x+1\Rightarrow dt=\left({e^x+xe^x}\right)dx=\left({x+1}\right)e^xdx$

Và $xe^x=t-1$

Suy ra: $I=\displaystyle\int\limits {{\dfrac{\left({t-1}\right)dt}t}}$ $=\displaystyle\int\limits {{\left({1-\dfrac1t}\right)dt}}$

$=t-\ln \left|t\right|+C$

$=xe^x+1-\ln \left|{xe^x+1}\right|+C.$

ĐÁP ÁN A.